確率論 - Emile's note

確率論

KRJからの抜き出し。いずれ置き換える

$ \sigma加法族と確率測度

＊$ \sigma加法族$ \mathcal{F}と測度空間$ (\Omega, \mathcal{F})

---> $ \Omegaの部分集合族$ \mathcal{F}が以下の条件を満たす時, $ \mathcal{F}は$ \Omega上の$ \sigma加法族($ \sigmafield)であると言う.

1. $ \Omega \in \mathcal{F}

2. $ A \in \mathcal{F}\ \Rightarrow\ A^c = \Omega/A \in \mathcal{F}

3. $ A_n \in \mathcal{F},\ (n=1,2,3,...)\ \ \Rightarrow\ \ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F} : (加算加法性. 和について閉じてる)

抽象的な空間(一般の集合)$ \Omegaに$ \sigma加法族を付与した空間$ (\Omega, \mathcal{F})を可測空間と言う.

※ 3.の代わりに$ A_i \in \mathcal{F}\ \ \Rightarrow\ \ \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{F}を満たす物を有限加法族と言う.

※ $ \sigmafieldは, 対象としてる現象の持つ情報量(その現象を調べて得られる情報の全体)として解釈できる.

＊測度 : 可測空間$ (\Omega, \mathcal{F})上の非負集合関数$ P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}が以下の条件を満たす時, $ Pを$ (\Omega, \mathcal{F})上の測度と呼ぶ.

1. $ P(\phi) = 0

2. $ \{A_n\} \subset \mathcal{F}:背反ならば, $ P(\bigsqcup_{n = 1}^\infty A_n ) = \sum_{n=1}^\infty P(A_n) (加算加法性. 要は和)

※ $ Pは重さの様な物.

※$ P(\Omega) = 1となる測度の事を確率測度と呼ぶ.

※$ P(\Omega) < \inftyなる測度$ Pを有限測度と言う.

※ $ A,B \in \mathcal{F}が$ A \subset Bを満たすならば, $ P(A) \leq P(B)となる.

※ 3.を緩めた$ A_i \in \mathcal{F}:互いに素$ \Rightarrow\ \ P(\bigcup_{i=1}^nA_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i): を満たす$ Pは有限加法的であると言う.

・定理1.1 (劣加法性) : $ (\Omega, \mathcal{F}, \mu):測度空間, $ \mu\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \leq \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

＊増加して収束 : $ a_n \uparrow a,\ \ \ A_n \uparrow A

--> $ [-\infty,\infty] の数列$ \{a_n\} について,

$ a_n \uparrow a とは, $ a_n \leq a_{n+1}\ \ \ (\forall n)かつ$ a_n \rightarrow aである事.

---> $ \Omegaの部分集合列$ \{A_n\}について,

$ A_n \uparrow Aとは, $ A_n \subset A_{n+1}\ \ \ (\forall n)かつ$ \bigcup_{n=1}^\infty A_n = Aの事.

＊減少して収束 : $ a_n \downarrow a,\ \ A_n \downarrow A

--> $ [-\infty, \infty] の数列$ \{a_n\}について,

$ a_n \downarrow aとは, $ a_n \geq a_{n+1}\ \ \ (\forall n)かつ$ a_n \rightarrow aである事.

---> $ \Omegaの部分集合列$ \{A_n\}について,

$ A_n \downarrow Aとは, $ A_n \supset A_{n+1}\ \ \ (\forall n)かつ$ \bigcap_{n=1}^\infty A_n = Aの事.

・定理1.4 (単調連続性)

1. $ A_n \uparrow Aなら$ \mu(A_n) \uparrow \mu(A)

2. $ A_n \downarrow Aかつ, ある$ n_0で$ \mu(A_n) < \inftyなら$ \mu(A_n)\downarrow \mu(A)

＊$ \mathcal{C}が生成する$ \sigmaField $ \sigma(\mathcal{C}) : $ \Omegaの部分集合族$ \mathcal{C}を含む最小の$ \sigmafieldの事.

1. $ \sigma(\mathcal{C})は$ \sigmafield

2. $ \mathcal{C}\subset \mathcal{F}かつ$ \mathcal{F}:\sigmafield$ \ \Longrightarrow\ \ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{F}

を満たす部分集合族$ \sigma(\mathcal{C})の事.

※ この様な$ \sigma(\mathcal{C})は一意に存在する. (2.より.)

※ $ \sigma(\mathcal{C}) = \bigcap_{\mathcal{F}:\sigma\mathrm{-field},\ \mathcal{F \supset \mathcal{C}}}\mathcal{F}として表せる.

＊$ \pisystem : 集合積について閉じてる部分集合族

$ \Omegaの部分集合族$ \mathcal{C}が$ A,\ B \in \mathcal{C}ならば, $ A \cap B \in \mathcal{C}を満たす時, $ \mathcal{C}は$ \pisystemであると言う.

＊$ \lambdasystem : 増大極限と差について閉じてる部分集合族

$ \Omegaの部分集合族$ \mathcal{D}が以下の3つの条件を満たす時, $ \mathcal{D}は$ \lambdasystemであると言う.

1. $ \Omega \in \mathcal{D}

2. $ A,B \in \mathcal{D}かつ$ A \subset Bなら$ A-B \in \mathcal{D}

3. $ \{A_n\} \in \mathcal{D}かつ$ A_n \uparrow Aならば$ A\in \mathcal{D}

※ $ \sigmafield ならば, $ \lambdasystemであり, $ \pisystemでもある. ($ \sigmafieldが一番きつい条件)

・定理1.6 (Dynkin族定理, $ \pi-$ \lambda定理)

$ \Omegaの部分集合族$ \mathcal{C,D}について, $ \mathcal{C}:\pisystem, $ \mathcal{D}:\lambdasystemならば, $ \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{D}が成立.

・$ \mathcal{F}の部分族$ \mathcal{C}が$ \sigma(\mathcal{C}) = \mathcal{F}を満たす時, 「$ \mathcal{C}は$ \mathcal{F}を生成する」と言う.

・ある$ \{\Omega_n\} \subset \mathcal{C}を取り, $ \Omega_n \uparrow \Omegaとできる時, 「$ \mathcal{C}は$ \Omegaを単調近似する」と言う.

・定理1.7 (測度の一致定理) :

1. 可測空間$ (\Omega, \mathcal{F})上の2つの測度$ \mu_1,\ \mu_2が$ \mathcal{F}のある部分族上で一致し, その値が有限である

2.$ \mathcal{C}が$ \pisystemであって, $ \mathcal{F}を生成し, $ \Omegaを単調近似する

と仮定すると, $ \mu_1,\ \mu_2は$ \mathcal{F}全体の上で一致する

＊位相空間

集合$ {X}に対して, 集合族$ \mathcal{O} \subset 2^{{X}}が以下の条件を満たす時, 組$ ({X},\ \mathcal{O})を「$ \mathcal{O}を開集合系とする位相空間」と呼ぶ.

開集合系$ \mathcal{O}に属する集合を「開集合」と呼ぶ.

1. $ O_{\lambda} \in \mathcal{O}, \lambda \in \Lambda ($ \Lambdaは任意の添字集合) $ \Longrightarrow $ \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathcal{O}

2. $ O_1, O_2 \in \mathcal{O} \Longrightarrow O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}

3. $ {X},\ \phi \in \mathcal{O}

※ 開集合系$ \mathcal{O}は加算回の積と任意回(無限含む)の和について閉じている.

※ 位相空間のお気持ちは, "近さ". 収束を一般に考えたい.

※ 距離空間より位相空間のほうが意味が広い.

＊Borel$ \sigmaField : (位相を決めた時の)開集合と閉集合, それらの加算集合演算で求まる集合をすべて含む集合族

---> 位相空間$ Sの開集合全体を$ \partial(S)と書いた時, 開集合全体で生成される$ \sigmafieldを$ \mathcal{B}(S) := \sigma(\partial(S))と表す.

この$ \mathcal{B}(S)を$ SのBorel$ \sigmafieldと言い, $ \mathcal{B}(S)の元をBorel集合と呼ぶ.

※ 稠密集合 : $ A \subset Xが$ Xの稠密集合であるとは,

$ \forall x \in Xの近傍に少なくとも一つ$ Aの元が含まれる事.

※ $ B(a;\epsilon):\epsilon開球体

・定理1.8 (リンデレーエフの被覆定理)

任意の開集合は開球の高々可算個の和で表せるので, $ Sの稠密部分集合$ Dを取ると, $ Sの任意の開集合$ Vは

$ V = \bigcup \{B(a; \epsilon) : a \in V \cap D,\ \ \epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}\ \ s.t.\ \ B(a;\epsilon) \subset V \}

と表せる. この事から, $ \mathcal{C} = \{B(a;\epsilon) : a \in D, \epsilon \in \mathbb{Q}_{>0}\}について,

$ \sigma(\mathcal{C}) = \mathcal{B}(S)が成立する.

・例1.9 :

・定理1.10 :

可測

$ (\Omega, \mathcal{F}, \mu)を測度空間とする時, 位相空間$ Sに対して関数$ f:\Omega \rightarrow Sが可測とは,

$ \forall B \in \mathcal{B}(S)に対して, $ \{f \in B\} := f^{-1}(B) = \{x \in \Omega : f(x)\in B\} \in \mathcal{F}が成立する事を言う.

※ 可測関数を用いて書かれる命題$ Fに対し,$ \{Fが成立\} := \{\omega \in \Omega : F(\omega)が成り立つ \}と書く.

・積分 : 関数$ fの$ \muに関する積分$ \int fd\mu = \int f(\omega)\mu(d\omega)を以下の手順で定義する

1. $ A\subset \Omegaに対して, $ \Omega上の実数値関数$ 1_A(x) = 1\ \ (x \in A),\ \ 0\ \ (x \in A)を定義関数と呼ぶ.

可測集合の定義関数の積分を以下の様に定義

$ \int 1_A d\mu := \mu(A) \in [0,\infty],\ \ A \in \mathcal{F}

2. 可測な非負単関数$ f を$ f= \sum_{k=1}^n c_k \mathbb{I}_{A_k}\ \ \in [0,\infty] \ \ (A_k \in \mathcal{F}) と表す時,

$ \int f d\mu := \sum_{k=1}^n c_k \mu (A_k)\ \ \in [0,\infty] と定義. (積分値は$ fの表現の仕方に依存しない)

※ 定義関数の非負係数線形結合で書ける関数のことを非負単関数と呼ぶ.

3. 非負可測関数$ fに対し, 可測かつ有限な非負単関数列$ \{f_n\}で各点で$ f_n(x) \uparrow f(x)となる物をとって,

$ \int fd\mu := \lim_{n\rightarrow \infty}\int f_n d\mu\ \ \in\ \ [0, \infty] と定める.

※ 単関数の近似列は必ず取れる

4. 一般の可測関数$ fに対して, $ fの正部$ f^+=f\vee0, 負部$ f^- =(-f)\vee 0は非負可測関数となる.

$ \int f^+d\mu,\ \ \int f^-d\muのいずれか一方が有限となる時, $ \int f d\muは意味を持つと言い,

$ \int fd\mu := \int f^+ d\mu^+ - \int f^- d\mu \in [-\infty, \infty] で定める.

※ $ \int |f| d\mu = \int f^+ d\mu + \int f^- d\mu <\inftyとなる時, $ fは可積分と言う. $ f \in L^1(\mu)で表す.

※ $ L^1(\mu)においては, 線型性が成り立つ.

$ \int (af+bg)d\mu = a\int fd\mu + b \int gd\mu

※ 可測関数$ f, 可測集合$ Aに対して, 積分が意味を持つ限り

$ \int_A fd\mu = \int_\Omega f 1_A d\muと定める. 特に$ \int fd\mu = \int_\Omega fd\muとなる事に注意.

・例2.2 : Chebyshev不等式

任意の$ a>0に対して, $ \mu(|f|>a) \leq \int_{\{|f|>a\}}\frac{|f|}{a}d\mu\leq \frac{1}{a}\int|f|d\muが成立.

※ $ \mu(|f|>a) = \mu(\{x \in \Omega:\ |f(x)|>a\})

・例2.5 : 可算和

確率空間 : $ (\Omega, \mathcal{F}, P)の事.

---> $ \Omega:標本空間と言う. 一般の集合を表す. 要素$ \omega \in \Omegaの事を標本 or 根源事象と言う.

---> $ \mathcal{F}:確率を測る事のできる事象の集合を意味する. 要素$ A \in \mathcal{F}の事を事象と言う.

---> $ P:確率測度