プリンストン 数学大全

目次

第 I 部　イントロダクション

I.1　数学とは何か？

I.2　数学における言語と文法

I.3　いくつかの基本的な数学的定義

I.4　数学研究の一般的目標

第 II 部　現代数学の起源

II.1　数から数体系へ

II.2　幾何学

II.3　抽象代数学の発展

II.4　アルゴリズム

II.5　解析学における厳密さの発展

II.6　証明の考え方の発展

II.7　数学の基礎における危機

第 III 部　数学の概念

III.1　選択公理

III.2　決定性公理

III.3　ベイズ解析

III.4　組ひも群

III.5　ビルディング

III.6　カラビ-ヤウ多様体

III.7　基数

III.8　圏

III.9　コンパクト性とコンパクト化

III.10　計算量クラス

III.11　可算および非可算集合

III.12　C*環

III.13　曲率

III.14　デザイン

III.15　行列式

III.16　微分形式と積分

III.17　次元

III.18　超関数

III.19　双対性

III.20　力学系とカオス

III.21　楕円曲線

III.22　ユークリッド互除法と連分数

III.23　オイラー方程式とナヴィエ-ストークス方程

III.24　エクスパンダー

III.25　指数関数と対数関数

III.26　高速フーリエ変換

III.27　フーリエ変換

III.28　フックス群

III.29　関数空間

III.30　ガロア群

III.31　ガンマ関数

III.32　母関数

III.33　種数

III.34　グラフ

III.35　ハミルトニアン

III.36　熱方程式

III.37　ヒルベルト空間

III.38　ホモロジーとコホモロジー

III.39　ホモトピー群

III.40　イデアル類群

III.41　無理数超越数

III.42　イジングモデル

III.43　ジョルダン標準形

III.44　結び目多項式

III.45　K理論

III.46　リーチ格子

III.47　L関数

III.48　リー理論

III.49　線形および非線形波動とソリトン

III.50　線形作用素とその性質

III.51　数論における局所と大域

III.52　マンデルブロ集合

III.53　多様体

III.54　マトロイド

III.55　測度

III.56　距離空間

III.57　集合論のモデル

III.58　合同式の算法

III.59　モジュラー形式

III.60　モジュライ空間

III.61　モンスター群

III.62　ノルム空間とバナッハ空間

III.63　数体

III.64　最適化とラグランジュ未定乗数法

III.65　軌道体

III.66　順序数

III.67　ペアノの公理系

III.68　置換群

III.69　相転移

III.70　π

III.71　確率分布

III.72　射影空間

III.73　2次形式

III.74　量子計算

III.75　量子群

III.76　四元数，八元数，ノルム斜体

III.77　表現

III.78　リッチ流

III.79　リーマン面

III.80　リーマンのゼータ関数

III.81　環，イデアル，加群

III.82　概型（スキーム）

III.83　シュレーディンガー方程式

III.84　シンプレクス法

III.85　特殊関数

III.86　スペクトル

III.87　球面調和関数

III.88　シンプレクティック多様体

III.89　テンソル積

III.90　位相空間

III.91　変換

III.92　三角関数

III.93　普遍被覆空間

III.94　変分法

III.95　代数多様体

III.96　ベクトル束

III.97　フォンノイマン環

III.98　ウェーブレット

III.99　ツェルメロ-フレンケルの公理系

第 IV 部　数学の諸分野

IV.1　代数的数

IV.2　解析的整数論

IV.3　計算数論

IV.4　代数幾何学

IV.5　数論幾何学

IV.6　代数的位相幾何学

IV.7　微分位相幾何学

IV.8　モジュライ空間

IV.9　表現論

IV.10　幾何学的組合せ群論

IV.11　調和解析

IV.12　偏微分方程式

IV.13　一般相対論とアインシュタイン方程式

IV.14　力学系理論

IV.15　作用素環

IV.16　ミラー対称性

IV.17　頂点作用素代数

IV.18　数え上げ組合せ論と代数的組合せ論

IV.19　極値的および確率的な組合せ論

IV.20　計算複雑さ

IV.21　数値解析

IV.22　集合論

IV.23　ロジックとモデル理論

IV.24　確率過程

IV.25　臨界現象の確率モデル

IV.26　高次元幾何と確率論的アナロジー

第 V 部　定理と問題

V.1　ABC予想

V.2　アティヤ-シンガーの指数定理

V.3　バナッハ-タルスキの逆理

V.4　バーチ-スウィナートン=ダイヤー予想

V.5　カールソンの定理

V.6　中心極限定理

V.7　有限単純群の分類

V.8　ディリクレの定理

V.9　エルゴード定理

V.10　フェルマーの最終定理

V.11　不動点定理

V.12　4色定理

V.13　代数学の基本定理

V.14　算術の基本定理

V.15　ゲーデルの定理

V.16　グロモフの多項式増大度定理

V.17　ヒルベルトの零点定理

V.18　連続体仮説の独立性

V.19　不等式

V.20　停止問題の非可解性

V.21　5次方程式の非可解性

V.22　リューヴィルの定理とロスの定理

V.23　モストフの強剛性定理

V.24　P対NP問題

V.25　ポアンカレ予想

V.26　素数定理とリーマン予想

V.27　加法的整数論における問題と結果

V.28　平方剰余の相互法則から類体論へ

V.29　曲線上の有理点とモーデル予想

V.30　特異点解消

V.31　リーマン-ロッホの定理

V.32　ロバートソン-セイモアの定理

V.33　3体問題

V.34　一意化定理

V.35　ヴェイユ予想

第 VI 部　数学者

VI.1　ピタゴラス（前569頃-前494頃）

VI.2　ユークリッド（前325頃-前265頃）

VI.3　アルキメデス（前287頃-前212頃）

VI.4　アポロニウス（前262頃-前190頃）

VI.5　アル・フワーリズミー（800-847）

VI.6　ピサのレオナルド（フィボナッチ）（1170頃-1250頃）

VI.7　ジロラモ・カルダーノ（1501-1576）

VI.8　ラファエル・ボンベッリ（1526-1572以降）

VI.9　フランソワ・ヴィエート（1540-1603）

VI.10　シモン・ステヴィン（1548-1620）

VI.11　ルネ・デカルト（1596-1650）

VI.12　ピエール・フェルマー（160?-1665）

VI.13　ブレーズ・パスカル（1623-1662）

VI.14　アイザック・ニュートン（1642-1727）

VI.15　ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（1646-1716）

VI.16　ブルック・テイラー（1685-1731）

VI.17　クリスティアン・ゴールドバッハ（1690-1764）

VI.18　ベルヌーイ家の人々（18世紀頃）

VI.19　レオンハルト・オイラー（1707-1783）

VI.20　ジャン・ル・ロン・ダランベール（1717-1783）

VI.21　エドワード・ウェアリング（1735頃-1798）

VI.22　ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ（1736-1813）

VI.23　ピエール=シモン・ラプラス（1749-1827）

VI.24　アドリアン=マリー・ルジャンドル（1752-1833）

VI.25　ジャン・バプティスト・ジョゼフ・フーリエ（1768-1830）

VI.26　カール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）

VI.27　シメオン=ドニ・ポアソン（1781-1840）

VI.28　ベルナルト・ボルツァーノ（1781-1848）

VI.29　オギュスタン=ルイ・コーシー（1789-1857）

VI.30　アウグスト・フェルディナント・メビウス（1790-1868）

VI.31　ニコライ・イワノヴィッチ・ロバチェフスキー（1792-1856）

VI.32　ジョージ・グリーン（1793-1841）

VI.33　ニールス・ヘンリク・アーベル（1802-1829）

VI.34　ヤーノシュ・ボヤイ（1802-1860）

VI.35　カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ（1804-1851）

VI.36　ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ（1805-1859）

VI.37　ウィリアム・ローワン・ハミルトン（1805-1865）

VI.38　オーガスタス・ド・モルガン（1806-1871）

VI.39　ジョゼフ・リューヴィル（1809-1882）

VI.40　エドゥアルト・クンマー（1810-1893）

VI.41　エヴァリスト・ガロア（1811-1832）

VI.42　ジェームズ・ジョゼフ・シルヴェスター（1814-1897）

VI.43　ジョージ・ブール（1815-1864）

VI.44　カール・ワイエルシュトラス（1815-1897）

VI.45　パフヌティ・チェビシェフ（1821-1894）

VI.46　アーサー・ケイリー（1821-1895）

VI.47　シャルル・エルミート（1822-1901）

VI.48　レオポルト・クロネッカー（1823-1891）

VI.49　ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン（1826-1866）

VI.50　ユリウス・ヴィルヘルム・リヒャルト・デデキント（1831-1916）

VI.51　エミール・レオナール・マシュー（1835-1890）

VI.52　カミーユ・ジョルダン（1838-1922）

VI.53　ソフス・リー（1842-1899）

VI.54　ゲオルク・カントール（1845-1918）

VI.55　ウィリアム・キングダム・クリフォード（1845-1879）

VI.56　ゴットロープ・フレーゲ（1848-1925）

VI.57　クリスティアン・フェリックス・クライン（1849-1925）

VI.58　フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（1849-1917）

VI.59　ソーニャ・コワレフスカヤ（1850-1891）

VI.60　ウィリアム・バーンサイド（1852-1927）

VI.61　ジュール=アンリ・ポアンカレ（1854-1912）

VI.62　ジュゼッペ・ペアノ（1858-1932）

VI.63　ダーフィト・ヒルベルト（1858-1943）

VI.64　ヘルマン・ミンコフスキー（1864-1909）

VI.65　ジャック・アダマール（1865-1963）

VI.66　イヴァール・フレドホルム（1866-1927）

VI.67　シャルル=ジャン・ド・ラ・ヴァレ・プーサン（1866-1962）

VI.68　フェリックス・ハウスドルフ（1868-1942）

VI.69　エリー・ジョゼフ・カルタン（1869-1951）

VI.70　エミール・ボレル（1871-1956）

VI.71　バートランド・ラッセル（1872-1970）

VI.72　アンリ・ルベーグ（1875-1941）

VI.73　ゴッドフリー・ハロルド・ハーディ（1877-1947）

VI.74　フレデリック・リース（1880-1956）

VI.75　ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウアー（1881-1966）

VI.76　エミー・ネーター（1882-1935）

VI.77　ヴァツワフ・シェルピンスキ（1882-1969）

VI.78　ジョージ・バーコフ（1884-1944）

VI.79　ジョン・エデンサー・リトルウッド（1885-1977）

VI.80　ヘルマン・ワイル（1885-1955）

VI.81　トアルフ・スコーレム（1887-1963）

VI.82　シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（1887-1920）

VI.83　リヒャルト・クーラント（1888-1972）

VI.84　ステファン・バナッハ（1892-1945）

VI.85　ノーバート・ウィーナー（1894-1964）

VI.86　エミール・アルティン（1898-1962）

VI.87　アルフレト・タルスキ（1901-1983）

VI.88　アンドレイ・ニコライヴィッチ・コルモゴロフ（1903-1987）

VI.89　アロンゾ・チャーチ（1903-1995）

VI.90　ウィリアム・ヴァランス・ダグラス・ホッジ（1903-1975）

VI.91　ジョン・フォン・ノイマン（1903-1957）

VI.92　クルト・ゲーデル（1906-1978）

VI.93　アンドレ・ヴェイユ（1906-1998）

VI.94　アラン・チューリング（1912-1954）

VI.95　アブラハム・ロビンソン（1918-1974）

VI.96　ニコラ・ブルバキ（1935-）

第 VII 部　数学の影響

VII.1　数学と化学

VII.2　数理生物学

VII.3　ウェーブレットとその応用

VII.4　ネットワークにおける交通の数学

VII.5　アルゴリズム設計の数理

VII.6　情報伝達の信頼性

VII.7　数学と暗号学

VII.8　数学と経済学的推論

VII.9　金融数学

VII.10　数理統計学

VII.11　数学と医学統計

VII.12　解析学と分析哲学

VII.13　数学と音楽

VII.14　数学と美術

第 VIII 部　展望

VIII.1　問題を解くこつ

VIII.2　「なぜ数学をするのか？」と問われたら

VIII.3　数学の普遍性

VIII.4　ニューメラシー

VIII.5　経験科学としての数学

VIII.6　若き数学者への助言

VIII.7　数学年表

索引