集合指標実例の圏

WIP.icon

definition.icon

一般の場合と対比するため、明示的に「1-」と書く

1-圏$ \mathbf{Set}_× における$ Σ モデルの圏$ \mathbf{Model}(Σ) \: \mathrm{in} \: \mathbf{Set}_× = [Σ.\mathbf{F},\mathbf{Set}_×]_{\mathbf{CCC}_×}

where

$ \mathbf{SIGN}

$ Σ \colon \mathbf{SIGN}

$ \mathbf{CCC}_× = \left\lang \mathbf{CCC};×,\mathbf{I},[]_{\mathbf{CCC}_×};\dots \right\rang

「（小さいとは限らない）1-デカルト閉圏」のデカルト閉圏

$ \mathbf{Set}_× \colon \mathbf{CCC}_×

$ \mathbf{Set}_× = \left\lang\mathrm{ CCC }\colon\mathbf{Set};×,I,[,];\dots\right\rang

$ \mathbf{F} \colon \mathbf{SIGN}→ \mathbf{CCC}_×

$ \left\lang \mathbf{F} ⊣ \mathbf{U} \colon \mathbf{SIGN}→ \mathbf{CCC}_×, \boldsymbol{η}, \boldsymbol{ε} \right\rang

$ \mathbf{Model}= [\_.\mathbf{F},\mathbf{Set}]_{\mathbf{CCC}_×}

$ \colon \mathbf{SIGN}^\mathrm{op}→\mathbf{CCC}_×

対象

指標の実例

$ M : \mathbf{Model}(Σ)=[Σ.\mathbf{F},\mathbf{Set}_×]_{\mathbf{CCC}_×}

$ M \colon Σ.\mathbf{F}→\mathbf{Set}_× \colon \mathbf{CCC}_×

自由-忘却随伴系$ \mathbf{F} ⊣ \mathbf{U}より転置として指標の準同型が対応

指標の割り当て

$ M^∩ \colon Σ → \mathbf{Set}_×.\mathbf{U} \colon \mathbf{SIGN}

$ M^∩=Σ.\boldsymbol η * M.\mathbf U

where

$ \boldsymbol η \colon \mathbf{SIGN}^\wedge ⇒ \mathbf{F} \# \mathbf{U}

$ \boldsymbol ε \colon \mathbf{U} \# \mathbf{F} ⇒ \mathbf{CCC}_×^\wedge

table:演算子

Set SIGN CCC ?

1 ; * * #

2 ; ; *

射

指標の準同型

$ P\colon M→N : \mathbf{Model}(Σ)

$ P\colon M ⇒N\colon Σ.\mathbf{F}→\mathbf{Set}_× \colon \mathbf{CCC}_×

転置

$ P^∩\colon M^∩ ⇒ N^∩ \colon Σ → \mathbf{Set}_×.\mathbf{U}

$ P^∩=Σ.\boldsymbol η * P.\mathbf U