余極限は対角函手の左随伴

ある$ J について

任意の$ T\colon J \to C の余極限$ \langle \operatorname{colim} T, \eta_T \rangle が存在するとき

つまり、任意の$ T \in C^J から$ \Delta への普遍射が存在するとき

$ \operatorname{colim} \colon C^J \to C は函手

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2019/8/19

$ \begin{aligned} \hom_{C^J}(T,\Delta \operatorname{colim} T') &\cong \hom_C(\operatorname{colim} T,\operatorname{colim} T')\\ \eta'\circ \alpha&\leftrightarrow \operatorname{colim} \alpha\end{aligned}

この函手は対角函手の左随伴函手

$ \operatorname{colim} \dashv \Delta \colon C^J \to C

$ \begin{aligned} \hom_{C^J}(T,\Delta a) &\cong \hom_C(\operatorname{colim} T,a) \end{aligned}

UMPにより定まる射と対応する

cからRへの左普遍射による随伴系の構成

dual.icon極限は対角函手の右随伴

組み合わせて$ \operatorname{colim} \dashv \Delta \dashv \lim

reference.iconscrap:随伴関手 - 壱大整域