Jacobi行列

関数$ f\colon \mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m の成分を$ (f^j)_{j=1,\dots,m} とする

このとき、$ f のヤコビ行列は

$ {J^j}_i = \frac{∂f^j}{∂x^i}

座標変換のヤコビ行列は正則行列

$ {J^j}_i = \frac{∂x'^j}{∂x^i}

逆行列は

$ {(J^{-1})^i}_j = \frac{∂x^i}{∂x'^j}

微小変化は

$ dx'^j = {J^j}_i dx^i

偏微分は

$ ∂'_j = {(J^{-1})^i}_j ∂_i

全微分は不変

$ d = dx^i ∂_i = dx'^j∂'_j