QAP
A
(0, 1, 0, 0, 0, 0)
(0, 0, 0, 1, 0, 0)
(0, 1, 0, 0, 1, 0)
(5, 0, 0, 0, 0, 1)
B
(0, 1, 0, 0, 0, 0)
(0, 1, 0, 0, 0, 0)
(1, 0, 0, 0, 0, 0)
(1, 0, 0, 0, 0, 0)
C
(0, 0, 0, 1, 0, 0)
(0, 0, 0, 0, 1, 0)
(0, 0, 0, 0, 0, 1)
(0, 0, 1, 0, 0, 0)
まず上で言うとA1ベクトルを縦向き(constraint数がベクトルの長さになる)に取ります。
$ A_1 = (0, 0, 0, 5)
$ A_2 = (1, 0, 1, 0)
$ A_3 ...
ラグランジェ補間
多項式補間に用いられる。相異なる点の集合 xj および数値 yj に対し、そのラグランジュ補間多項式は、各 xj において対応する値として yj をとるような次数最小の多項式である。
次数最小の多項式というのがポイント。
Aをラグランジュ補間多項式にすると、以下のようになります。
$ A_1(x) = -5.0 + 9.166...x -5.0x^2 + 0.833...x^3
$ A_2(x) = 8.0 - 11.333...x + 5.0x^2 - 0.666...x^3
実際に1を代入すると$ A_1(1)=0になってほしいはず。
$ A_1(1)= -5 + 9.166... - 5 + 0.833... = 0
$ A_1(4)=5になってほしいはず。
$ A_1(4)= -5 + 9.166...*4 - 5*16 + 0.833...*64 = 5
$ A_2(1) = 8 - 11.333... + 5 - 0.666... = 1
これによって元の問題は、以下のように表されます。
A polynomials
(-5.0, 9.166, -5.0, 0.833)
(8.0, -11.333, 5.0, -0.666)
(0.0, 0.0, 0.0, 0.0)
(-6.0, 9.5, -4.0, 0.5)
(4.0, -7.0, 3.5, -0.5)
(-1.0, 1.833, -1.0, 0.166)
B polynomials
省略
C polynomials
省略
答えを当てはめていく。
この問題のS
$ S = \left(\begin{array}{ccc} ~one & x & ~out & sym_1 & y & sym_2 \end{array} \right)
を満たすのは(1, 3, 35, 9, 27, 30)
まず最終的な$ A_p.Sの第1要素は
$ \sum A_k(1) * S_k = -5*1+8*3+0*35-6*9+4*27-1*30
$ =-5+24+0-54+108-30=132-89 = 43
$ \sum A_k(2) * S_k = 9.166*1-11.333*3+0*35+9.5*9-7*27+1.833*30
=
よってA.s, B.s, C.sは以下のようになる。
A . s = (43.0, -73.333, 38.5, -5.166)
B . s = (-3.0, 10.333, -5.0, 0.666)
C . s = (-41.0, 71.666, -24.5, 2.833)
ここで$ A . s * B . s - C . sは
$ t(x) = -3.444...x^6 + 51.5x^5 + ... -88.0
t = (-88.0, 592.666, -1063.777, 805.833, -294.777, 51.5, -3.444)
$ Z=(x-1) * (x-2) * (x - 3) * (x - 4)
$ = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x^1
Z = (24, -50, 35, -10, 1)
$ h = t / Z
h = t / Z = (-3.666, 17.055, -3.444)
こうなるらしい
$ h(x) = -3.666 + 17.055x + -3.444x^2
ちなみにこの場合、tは6次関数(d*2)、Zは4次関数(constants.length)になる