2025/07/29 代数学概論対策
t6o_o6t.icon
TODO
演習課題12回分（15時間想定）
質問カード（5時間想定）
凡例
残りリトライ回数を付しておく
✅: これ以上は取り組まない
😴: 試験には出題できなさそう / 優先度的に取り組まない
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集合
演習1
①1
集合$ A\subseteq Bを示すとき、$ \forall x\in A,\ x\in Bを示せばよい。$ A\subseteq Bまでは書かなくても良さそう
$ x\in A \cap Bに対して$ x\in Aかつ$ x\in Bは「定義から」言えること
$ \empty\subseteq Aは空集合の「定義から」言えること
これは証明しても良いかもしれない。部分集合の定義の前件が成り立たないので恒真
✅2
✅3
①4
t6o_o6t.iconの解答
$ (\subseteq) $ B\in2^Aより$ B\subseteq A。すべての$ Bの要素は$ Aに含まれるから、$ Bの和をとってもすべての要素は$ Aに含まれる。
$ (\supseteq) $ 2^Aには、$ Aの各要素をただ1つ含む集合も含まれる。左辺はそれらを含めた和なので、$ Aのすべての要素は左辺に含まれる。
模範解答との比較
$ (\subseteq)の方針が異なっている。たぶんt6o_o6t.iconも合ってる
$ (\subseteq)は方針は一致している。ただ、模範解答は数式を使って表現しているので見通しがよいかもしれない
✅5
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演習2
✅1
😴2
✅3
✅4
✅5
①6
t6o_o6t.iconの解答では、空集合の定義から、空集合が任意の集合の部分集合だから、空集合の部分集合でもあると述べている。
模範解答では部分集合の定義を使って証明している。空集合が任意の集合の部分集合というのは自明ではないから、このように証明したほうがベターかも。
✅7
反例を示すとベター
✅8
✅9
t6o_o6t.iconの解答
ド・モルガンの法則を先に示しておく。
$ ￢(x\in A\cap x\in B)\iff x\notin A\cup x\notin Bから示す。
模範解答はなし
論理式の否定は$ ￢を使おう（定義集を参照）
✅10
②11
①12
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演習3
✅ハッセ図
① 関数が商集合...上の関数を引き起こす というのは、その関数が同値類に対しても定義できることを意味すると思う.
このとき、同値関係にある複数の元を関数に与えると、同じ値にならなければならない。
✅ 集合$ X上の同値関係が分割を導くこと、任意の分割が同値関係を導くこと
前者については、任意の同値類を2つ考えて、分割の定義を満たすことを確認する。
ポイントは、同値類の和が$ Xに等しいことの証明。$ x\in Xに対して$ xが$ xを代表元とする同値類に含まれることを利用する。
✅演習4
演習5
😴環、体の定義
✅除法の定理の一意性
✅ユークリッドの互除法の計算（ふだん手でやっていることを数式にすれば良いのでは？）
メモ
商集合のイメージ：同値関係は分割を作る → 集合は同値関係で分割される（割られる）。
商集合は同値類の集合。
完全代表系のイメージ：図を書いてみると良い
キーワード
「xを代表元とする同値関係~に関する同値類は、...」
「Sで生成されるGの部分群」
射影：xに対して、xを代表元とする同値類を与える写像。
②p.27 の証明
✅除法定理の一意性の証明
対称群：$ X上の全単射写像の集合は群をなす。これを対称群$ S(X)という。集合が$ n個の元をもつとき、$ n次対称群
①p.44の証明
①p.49の証明
①定理4.29
①問4.16
サイエンス社から解答を確認する。群であることを表で証明するのはなるべく避けたい。
①問4.57
⚠️要確認事項
剰余類の定義
差積による置換の符号
ユークリッドの互除法、初等整数論の基本定理
Lagrangeの定理（おもしろい）
群は交換律を必ずしも満たさない。可換群でないのにうっかり変形で交換しないよう注意。
単位元と逆元は、左右どちらから演算してもよいことが「定義から」いえることも注意。
持ち込む定理
問題で使いそうなものを中心に
3.21（p.29）
4.27（p.49）
4.35（p.52）
4.73（p.73）
4.78（p.76）
第1同型定理
gNからf(g)を与える写像が同型であるため
第2同型定理
hからheNを与える写像が同型であり、そのKerがH∧Nなので、第1同型定理から示される
第3同型定理