2025/07/13 システム制御論対策

要点

ラプラス変換について

微分のラプラス変換の一般系

$ s^nX(s)-\sum_{i=0}^{n-1}s^{i}x^{(n-i-1)}

ラプラス変換の積はたたみこみ積分である

連続時間

システムの内部状態を、次の状態方程式で表す

$ \dot {\bm x}(t)=\bm A \bm x(t)+\bm b\bm u(t)

状態方程式の両辺をラプラス変換することで、伝達関数を求める

伝達関数から状態方程式・出力方程式を導出する「実現問題」の解は一意にならない

可制御標準形と対角標準形を求める

時間波形を考える

スカラーに関する方程式として考えると、

$ \dot x(t)=ax(t)+bu(t)

両辺をラプラス変換して、

$ sX(s)-x(0)=aX(s)+bU(s)

$ X(s)=\frac {1}{s-a}x(0)+\frac {1}{s-a}bU(s)

両辺を逆ラプラス変換して、

$ x(t)=e^{at}x(0)+\int _{0}^{t}e^{a(t-\tau)}bu(\tau)d\tau

それを行列に拡張すると、

$ \bm x(t)=e^{\bm At}x(0)+\int_0^{t}e^{\bm A(t-\tau)}\bm b\bm u(\tau)d\tau

$ e^{\bm At}は状態遷移行列。

導出: 状態方程式を行列に関する方程式として同様に整理すると、係数比較より下記のように求まる

$ e^{\bm At}= \cal L^{-1}\{[s\bm I-\bm A]^{-1}\}

可制御性: 可制御性行列$ U_c=(\bm b\quad \bm A\bm b\quad \bm A^2\bm b\quad...)のRankが$ nに等しければ可制御。

安定性: $ \bm Aの固有値がすべて負の実数部を持てば安定。

離散時間

時刻$ kTを初期状態として、$ x(k+1)を表したものが離散時間の状態方程式である。

0次ホールドにより、$ kTから$ (k+1)Tまで入力は変化しないことに注意すると、

$ x(k+1)=e^{\bm A_cT}x(k)+\int_0^Te^{\bm A(T-\tau)}\bm bd\tau u(k)

行列$ \bm A=e^{\bm A_cT}の固有値の絶対値が1以下であれば安定である。

状態フィードバック制御

入力に、$ \bm f\bm xを加えるのが状態フィードバック制御。

$ \dot{\bm x}=(\bm A+\bm b\bm f)\bm x+\bm b\bm u

極配置問題では、行列 $ \bm A+\bm b\bm fの固有値が指定された極に等しくなるようにする。

感想

導出が分かりやすい部分は、しっかり導出までできるようにしておくのが良いだろう

このページには、導出のために覚えておく必要があることがらをまとめておいた

次の方法は暗記になりそう

可制御標準形の作り方

対角標準形の作り方

可制御性の判定

計算を間違えなければ95点くらいは取れるだろう