透視投影行列

near と far 面が $ z = -n, z = -f (n,f > 0) ，near 面の上下左右の端が $ t,b,r,lの視錐台を，左の立方体に変形させる変換，つまりカメラ座標系から正規化（同次）クリップ座標系への変換を考える（ OpenGL と同じ）．

https://scrapbox.io/files/67a6fb3865fc5f6b99782196.png

例えば，以下の射影変換で表現することができる：

code:tex

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z \\ 1

\end{pmatrix}

～

\begin{pmatrix}

-P_z x \\ -P_z y \\ -P_z z \\ -P_z

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

\frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\

0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\

0 & 0 & - \frac{f+n}{f-n} & - \frac{2nf}{f-n} \\

0 & 0 & -1 & 0

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

P_x \\ P_y \\ P_z \\ 1

\end{pmatrix} ,

fovY と aspect で指定する場合は

$ t = near \times \tan ( fovY \times 0.5), ~ b = -t,~ r = t \times aspect,~ l = -r

ちなみに Vulkan の場合は正規かクリップ座標系の z 軸の範囲が $ 0 \leq z \leq 1なので

code:tex

\begin{pmatrix}

\frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\

0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\

0 & 0 & - \frac{f}{f-n} & - \frac{nf}{f-n} \\

0 & 0 & -1 & 0

\end{pmatrix} ,

となる．必要に応じて y 軸を反転させる．

https://scrapbox.io/files/699c06dd3583dfb074de78d1.png

Reverse-Z の場合は上の通り，near を 1, far を 0 にマップする．

この場合の行列は

code:tex

\begin{pmatrix}

\frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\

0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\

0 & 0 & \frac{n}{f-n} & \frac{nf}{f-n} \\

0 & 0 & -1 & 0

\end{pmatrix} ,

となる．

最初の行列の導出は参考文献に書いてあります．

参考文献

ゲームプログラミングのための 3D グラフィックス数学，ボーンデジタル，2009．