主曲率・ガウス曲率・平均曲率・オイラーの公式
接平面上のベクトルは実数の係数 $ \xi, \eta を用いて
$ w = \xi r_u + \eta r_v
と表現できる．
これにさらに単位ベクトルであるという制約 $ \| w \| = 1 が付いた状態で，
$ w の第二基本形式
$ L \xi^2 + 2M \xi \eta + N \eta^2 = \begin{pmatrix} \xi & \eta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi & \eta \end{pmatrix} \hat{II} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix} の
最大値，最小値を主曲率 principal curvatures $ k_1, k_2 といい，その方向を主方向 principal directions と呼ぶ．
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主曲率について詳しく見ていく，
まず最大値・最小値問題の拘束条件は
$ \left\| w \right\| ^2 = E \xi^2 + 2F \xi \eta + G \eta^2 = 1
なので，ラグランジュ未定乗数法を使うと，
$ L \xi^2 + 2M \xi \eta + N \eta^2 - \lambda( E \xi^2 + 2F \xi \eta + G \eta^2 - 1)
を $ \xi, \eta で微分して 0 になり，かつ $ \| w \| = 1 を満たす位置を探せばいい．
解を探すには連立方程式を解く，
code:tex
\begin{aligned}
& 2L \xi + 2 M \eta - \lambda( 2E \xi + 2 F \eta ) = 0 \\
& 2 M \xi + 2 N \eta - \lambda ( 2 F \xi + 2 G \eta ) = 0 \\
& E \xi^2 + 2 F \xi \eta + G \eta^2 - 1 = 0
\end{aligned}
ここで，最初の二つの式は
code:tex
\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}
となり，左から $ ( \xi , \eta ) を掛けると $ L \xi^2 + 2M \xi \eta + N \eta^2 = \lambda と分かる．
つまり解となる場所においては $ \lambda が目的関数の値（＝主曲率 $ k_1, k_2 のいずれか）と一致する．
それから，最後の拘束条件は重要じゃない（どんな組に対しても $ \xi \rightarrow \xi / \sqrt{\xi^2 + 2 F \xi \eta + G \eta^2}, \eta \rightarrow \eta / \sqrt{\xi^2 + 2 F \xi \eta + G \eta^2} とすれば成立するから）
よって，上二つの式を満たす場合を探せばよい，
これは$ \xi, \eta の線型方程式と見なすことで
code:tex
\begin{vmatrix}
L - \lambda E & M - \lambda F \\ M - \lambda F & N - \lambda G
\end{vmatrix} = 0
の行列式 = 0 となる $ \lambda の条件が出てくる，この二次関数の解を $ k_1, k_2 と置くと，
code:tex
\underbrace{ k_1 k_2 }_{ \substack{K \\ {\text Gauss 曲率}}}= \frac{LN - M^2}{EG - F^2} = \frac{ \det \hat{II}}{ \det I }, \quad \underbrace{ \frac{1}{2} ( k_1 + k_2) }_{\substack{H \\ {\text 平均曲率}}} = \frac{EN + GL - 2FM}{2 ( E G - F^2) } = \frac{1}{2} {\rm tr} \left( I^{-1} II \right)
↑の式にも書いたが， $ k_1 k_2 = K をGauss曲率， $ \frac{1}{2}( k_1 + k_2 ) = H を平均曲率と呼ぶ．
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$ k_1 \neq k_2 のとき，それぞれに対応する $ \xi, \eta で作られる $ w_1, w_2 は直交する．
$ k_i に対応する $ \xi, \eta を $ \xi_i, \eta_i とすると，
code:tex
\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_i \\ \eta_i \end{pmatrix}
=
k_i
\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_i \\ \eta_i \end{pmatrix}
これを用いると，
code:tex
k_1 \left\{ \begin{pmatrix} \xi_1 & \eta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_2 \\ \eta_2 \end{pmatrix} \right\} =
k_2 \left\{ \begin{pmatrix} \xi_1 & \eta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_2 \\ \eta_2 \end{pmatrix} \right\}
が成り立つ． $ k_1 \neq k_2 より $ \begin{pmatrix} \xi_1 & \eta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_2 \\ \eta_2 \end{pmatrix} = E \xi_1 \xi_2 + F \xi_1 \eta_2 + F \xi_2 \eta_1 + G \eta_1 \eta_2 = w_1 \cdot w_2 = 0
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オイラーの公式
接平面上の単位ベクトルは角度 $ \theta を用いて $ w = w_1 \cos \theta + w_2 \sin \theta = ( \xi_1 \cos \theta + \xi_2 \sin \theta) r_u + ( \eta_1 \cos \theta + \eta_2 \sin \theta) r_v と書ける．
これを使って第二基本形式を計算すると
$ k_1 \cos^2 \theta + k_2 \sin^2 \theta となる．
参考文献
小林昭七：曲線と曲面の微分幾何（改訂版），裳華房，1995.