ベクトル場とスカラー場の線積分
有向曲線 (oriented curve)
閉区間$ \lbrack a,b \rbrack を変域とする媒介変数 $ t の関数である位置ベクトル $ r(t) = r_i (t) e_i の軌跡
$ C:r(t) のようにCで表されることが多い．
$ r(a) を始点，$ r(b) を終点
$ r(a) = r(b) のとき閉曲線
$ t_1 \neq t_2 について$ r(t_1) = r(t_2)のとき，重なる点を重複点，重複点がないとき単純曲線
$ r(t) が $ C^1 級のとき，$ \frac{dr}{dt} = 0 の点を特異点，特異点がない曲線を正則曲線
弧長媒介変数：
$ s = \int^{t}_a \left| \frac{dr}{dt}(t') \right| dt' ，
$ \alpha = s(a), \beta = s(b) とする．
$ \frac{ds}{dt} = \left| \frac{dr}{dt} \right|が成り立つ．
正則曲線のとき，$ \frac{ds}{dt} > 0 より，$ s(t)は狭義単調増加関数なので，$ t(s)と書ける，
$ \frac{dr}{ds} = \frac{dr}{dt} \frac{dt}{ds} = \frac{dr}{dt} / \frac{ds}{dt} = \frac{dr}{dt} / \left| \frac{dr}{dt} \right| ，よって $ \left| \frac{dr}{ds} \right| = 1.
単位ベクトル $ {\boldsymbol t} = \frac{dr}{ds} を単位接線ベクトルと呼ぶ．
$ sの微分$ dsを線素と呼び，$ dr = {\boldsymbol t} dsを線素ベクトルと呼ぶ．
曲線 $ C:r(t) ~ (a \leq t \leq b) に対して
$ t の狭義単調増加関数$ t'(t) ~ (a' \leq t' \leq b') について，$ t' をパラメータとする曲線を$ C':r(t(t')) とする．
$ t の狭義単調減少関数 $ t'' = a + b - t について，$ t'' をパラメータとする曲線を $ C^{-1}:r(t(t'')) とする(逆向きの有向曲線)．
以降，パラメータの変換の文脈で$ r(t') と表記した場合$ r(t(t')) を意味する．
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$ f をスカラー場とする
$ fの$ Cに沿う線積分:
$ \begin{aligned} \int_C f ds & = \int^{\beta}_{\alpha} f(r(s)) ds \\ & = \int^b_a f(r(t)) \frac{ds}{dt} dt \\ & = \int^b_a f(r(t)) \left| \frac{dr}{dt} \right| dt , \end{aligned}
$ C' に沿う線積分は，
code:tex
\begin{aligned}
\int_{C'} f ds
& = \int^{b'}_{a'} f(r(t')) \left| \frac{dr}{dt'} \right| dt' \\
& = \int^{b}_{a} f(r(t)) \left| \frac{dr}{dt'} \right| \frac{dt'}{dt} dt \\
& = \int^{b}_{a} f(r(t)) dt \\
& = \int_C f ds,
\end{aligned}
ここで，
code:tex
\left| \frac{dr}{dt'} \right| = \sqrt{ \sum_i \left( \frac{d r_i}{dt'} \right)^2 } = \sqrt{ \left\{ \sum_i \left( \frac{d r_i}{dt} \right)^2 \right\} \left( \frac{ dt}{dt'} \right)^2 } = \left| \frac{dr}{dt} \right| \left| \frac{dt}{dt'} \right|
と
code:tex
\left| \frac{dt}{dt'} \right| = \frac{dt}{dt'} = 1 / \frac{dt'}{dt} ~~ ( \because t'はtの単調増加関数なので\frac{dt}{dt'} > 0)
を用いた．
速度の異なる同じ向きの曲線について，スカラー場の線績分は同じ
$ C^{-1}に沿う線積分は，
code:tex
\begin{aligned}
\int_{C^{-1}} f ds
& = \int^{t'=b}_{t'=a} f (r (t')) \left| \frac{dr}{dt'} \right| dt' \\
& = \int^{t=a}_{t=b} f(r(t)) \left| \frac{dr}{dt'} \right| \frac{dt'}{dt} dt \\
& = \int^{b}_{a} f(r(t)) \left| \frac{dr}{dt} \right| dt. ~ ~ ( \because \left| \frac{dr}{dt'} \right| = \left| \frac{dr}{dt} \right| \left| \frac{dt}{dt'} \right|, \frac{dt}{dt'} < 0 ) \\
& = \int_C f ds ,
\end{aligned}
逆向きの曲線についてはスカラー場の線積分は同じである
$ \int^b_a f d t の形式の積分とは異なり，$ \int_C f ds では$ s は常に増加する($ ds は常に正)．
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$ v をベクトル場とする
$ v の$ C に沿う線積分
code:tex
\begin{aligned}
\int_C v \cdot d {\boldsymbol r} = \int_C v \cdot {\boldsymbol t} ds & = \int^{\beta}_{\alpha} v(r(s)) \cdot \frac{d r}{ds} ds \\
& = \int^{b}_{a} v(r(t)) \cdot \left( \frac{ d r}{dt} / \left| \frac{dr}{dt} \right| \right) \frac{ds}{dt} dt \\
& = \int^{b}_{a} v(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} dt \\
& = \int^{b}_{a} v_k \frac{ d r_k}{dt} dt = \int^{b}_{a} v_k d r_k.
\end{aligned}
$ C' に沿う線積分
code:tex
\begin{aligned}
\int_{C'} v \cdot dr
& = \int^{b'}_{a'} v ( r(t')) \cdot \frac{dr}{dt'} dt' \\
& = \int^{b}_{a} v(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} \frac{dt}{dt'} \frac{dt'}{dt} dt \\
& = \int^{b}_{a} v(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} dt \\
& = \int_C v \cdot dr ,
\end{aligned}
速度の異なる同じ向きの曲線についてはベクトル場の線績分は同じである
$ C^{-1} に沿う線積分
code:tex
\begin{aligned}
\int_{C^{-1}} v \cdot dr
& = \int^{b}_{a} v(r(t')) \cdot \frac{dr}{dt'} dt' \\
& = \int^{a}_{b} v(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} \frac{dt}{dt'} \frac{dt'}{dt} dt \\
& = \int^{b}_{a} v(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} dt \\
& = - \int_{C} v \cdot dr,
\end{aligned}
逆向きの曲線についてはベクトル場の線積分は符号が反転する