圏論①
圏
圏とは対象(object)と射(arrow)からなり、次に述べる圏の公理を満たすシステムのこと
どんな射に対しても、域(domain)と呼ばれる対象と余域(codomain)と呼ばれる対象が存在する
射$ fの域を$ dom(f)、余域を$ cod(f)と表す
射$ f, gについて、$ cod(f) = dom(g)であるなら$ f, gの合成(composition)と呼ばれる射$ g \circ fが一意に存在する
射$ f, g, hについて、$ cod(f) = dom(g)かつ$ cod(g) = dom(h)ならば、$ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ fである
どんな対象Aに対しても、恒等射(Identity)と呼ばれる特別な射$ 1_Aがただ一つ存在し、$ cod(f) = Aとする任意の射$ f、$ dom(g) = Aとする任意の射$ gについてそれぞれ$ 1_A \circ f = f、$ g \circ 1_A = gが成り立つ
つまり、射に対して域・余域・合成が定義され、結合律と単位律が成立するシステムのことを圏と呼ぶ
また、$ dom(f) = A, cod(f) = B、$ dom(g) = B, cod(g) = Aであるような射$ f, gについて、$ g \circ f = 1_Aかつ$ f \circ g = 1_Bを満たすとき$ fについて$ fは可逆であり、$ gは$ fの逆射(inverse)であるという。$ gについても同様