n次元ベクトルに行列を掛けると行列の行数次元ベクトルになる
n次元ベクトルxに$ m \times n行列Aを掛けると、m次元ベクトル$ y = Axが得られます
それはわかるんだけど、どういう意味をもつ規則なのか？
空間自体を変形させることができる？
次元も変えることができる
違うな、行列Aの各要素をどの方向にどれくらい動かすかを示しているのでは？
$ \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}のとき、$ \begin{pmatrix} A_1 \times x_1 + A_2 \times x_2 \\ A_3 \times x_1 + A_4 \times x_2 \end{pmatrix}が求められる
このとき、$ ( 1,0)は$ (A_1, A_3)に移動する、$ (0,1)は$ (A_2,A_4)に移動する
$ (1,1)は$ (1,0)+(0,1)で求められる
つまり、$ (1,1)の移動先は$ (A_1+A_2,A_3+A_4)になる☺️
まとめると、$ m \times n行列Aは、n次元空間をm次元空間に移す写像を表しています。
Aの第1列は$ e_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ ... \end{pmatrix}の行き先、Aの第2列は$ e_2 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ ... \end{pmatrix}の行き先…といった調子です。
ちゃんと解説が書いてあった
次元を移動するイメージがもてなかったが、平面がにょーんと上下に伸びて3次元になる感じを掴んだ