ラッセルのパラドックス

理解がむずい

$ R=\{ x | x \notin x\}

Rとは

「「集合自身は属していない集合」の集合」ってことか

ここで、RはRに属しているかを考える

属しているなら、

Rの定義から「RにRは属さない」が真という事になる

矛盾。

属していないなら、

Rの定義から、「RにRは属さない」が偽という事になる

矛盾。

数学のバグ感あって面白い

対策として、全体集合Uを定めて制約にする

$ R=\{ x | x \in \mathbb{U} \land x \notin x\}

Rが、「「集合自身は属していない集合」かつ「Uに属す」ものの集合」になる

ここで、RはRに属しているかを考える

属していると仮定すると、

Rの定義から、「RにRは属さない」and「Uに属す」が真という事になる

矛盾。

属していないと仮定すると、

Rの定義から、「RにRは属さない」and「Uに属す」が偽という事になる

対偶をとって、「RにRは属す」or「Uに属さない」が真という事になる

あんまり直感は生えてないけど、ロジックは理解した

要は、この定義によって、Rが全体集合から省かれるという事なのかな

そうなると、R=Uになる?

仮にR以外の同じようなものを考えると？

$ S=\{ x | x \in \mathbb{U} \land x \notin x\}

これならR=Sで終わりか

$ T=\{ x | x \in \mathbb{U} \land x \notin x\ \land x \neq 1\}

これならRはTを包含しているから、まあどちらにせよRは全体集合かな?

全体集合を「今考えている領域にある全ての要素を集めた集合」と解釈しているなら、このままでも大丈夫です

全体集合を「全ての集合を集めた集合」と考えている場合はまずいですが

「全ての集合を集めた集合」を素朴に考えるとパラドックスを起こす

{R}とかを考えると?

{R}はRに属しているかを考える

別に{R}は普通の数字とかその他普通の諸々と何も変わりないのか

なので普通に属している