濃度
Cardinality
無限集合は集合の大きさを単純に数えることができない。(自然数で表すことができない。)
このため、集合の大きさを示すのに濃度という概念を使う。
定義
記号では集合の大きさの表し方と同じ。
$ |X|
2つの無限集合を比較する時、少なくとも1対1対応になるかどうか(全単射があるかどうか)を判定することはできる。
1対1対応できるのであれば、同じ濃度と見なすことができる。
1対1対応ができるかどうかは、自然数を元にしてすべての要素を定義できるかどうかと同義。
例えば、正の偶数と自然数とは1対1対応させることができてしまう。よって同じ濃度。
正の偶数の集合を$ O = \{2n \mid n\in \mathbb{N} \}と定義することができてしまう。
普通の人の感覚では、正の偶数の集合の方が自然数の集合の半分しかないように考えてしまう。
しかし濃度の定義からすると、同じ濃度になってしまう。
集合Xから集合Yへの単射があるなら
集合Xの濃度は集合Yの濃度以下と考える事ができる。(等しいかもしれないが、集合Yの大きさを超えることはない)
自然数の濃度は可算濃度と呼ばれる。
自然数と1対1対応させることができる無限集合の濃度はすべて可算濃度になる。