ring[四則演算]の定義を持つが、一部満たされない条件がある。[加法]を持つ。[乗法]を持つ。[交換法則]は満たさなくてもよい。

commutative law[二項演算]の前後を入れ替えても同じ値になること[$ x \circ y = y \circ x]交換則、交換律とも呼ばれる。例

Mathematical structure数学で扱えるように考え出された、各種要素の関係性様々なものに数学的構造が現れる。自然数からの加減乗除結び目の形

Ideal[環]定義環[$ R]の部分集合[$ I]が以下の性質を持つとき、[$ I]をイデアルと呼ぶ。[$ I]の元[$ a_I, b_I]を加算したもの[$ a_I + b_I]が[$ I]に含まれる。(加算について閉じている) (1)

fieldfield theory「たい」[四則演算]が定義されている[数学的構造][加法]を持つ。

binary operation2つの数に対して演算をして新たな数を作るもの二項演算と呼ぶ。([二項関係]は2つの要素の関係性を示し、[二項演算]には2つの要素に対する演算結果がある。)一般的に使われているのは以下のようなものになる。他にもたくさんある。(定義しだい)[加算] [$ a + b]

3-Dimensional Symmetric Group対称群[$ S_3]三次対称群3つの記号の組を置換する組合せを[群]としたもの。まず、組の並びを以下のように表す。

[$ 1 - 0 = 1][$ 1 - 1 = 0]ここまでは自然数の範疇。まず、負の数は正の数より大きな正の数を引いたときに現れる。[$ 1 - 2 = x]

[$ a \times b = b \times a]乗算記号は通常は省略される。[$ ab = ba][乗算][単位元]との乗算は等しい。

Vector space線形空間、線型空間とも呼ばれる。[ベクトル]に対して、[加法]演算と[スカラー倍]が定義された空間と考えてよい。(スカラー倍は同一ベクトルの加法から導く事もできる。)以下が成り立つ空間をベクトル空間と呼ぶ。

似ているが[テンソル積]とは異なる。[行列]の乗算方法は以下のように定義されている。[$ A]が[$ m \times n]行列、[$ B]が[$ n \times p]行列の時[$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ]

[複素行列] [$ A]の[随伴行列] [$ \bar{A}^T]が自分自身と一致している行列をエルミート行列と呼ぶ。[$ A = \bar{A}^T]エルミート行列は[$ A^\star]とあらわされることが多い。行列を[$ A]、エルミート行列を[$ A^\star]とすると必ず[正方行列]になる。(行と列を転置しても同じ行数、列数になるには正方行列しかあり得ない)

[加法]の[数学的構造]を持つ集合[結合法則]を満たす。[交換法則]を満たす。[零元]を持つ。[群]