三角関数の加法定理
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
位置$ P(1, 0)
位置$ Q(\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))
$ \alpha分、右に回転させる。
位置$ P'(\cos(-\alpha), \sin(-\alpha))
位置$ Q'(\cos(\beta), \sin(\beta))
回転させても$ PQ間の長さは変わらない。
つまり$ PQ = P'Q'であるので$ {PQ}^2 = {P'Q'}^2である。
長さの2乗を求める式から
$ (Q_x - P_x)^2 + (Q_y - P_y)^2 = ({Q'}_x - {P'}_x)^2 + ({Q'}_y -{P'}_y)^2
$ (\cos(\alpha + \beta) - 1)^2 + (\sin(\alpha + \beta) - 0)^2 = (\cos(\beta) - \cos(-\alpha))^2 + (\sin(\beta) - \sin(-\alpha))^2
$ \cos^2(\alpha + \beta) - 2\cos(\alpha + \beta) + 1 + \sin^2(\alpha + \beta)
$ = \cos^2(\beta) - 2\cos(\beta)\cos(-\alpha) +\cos^2(-\alpha) + \sin^2(\beta) - 2\sin(\beta)\sin(-\alpha) +\sin^2(-\alpha)
ここで、$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 であるので、まとめられる。
$ 2 - 2\cos(\alpha + \beta) = 2 - 2\cos(\beta)\cos(-\alpha) - 2\sin(\beta)\sin(-\alpha)
整理して
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\beta)\cos(-\alpha) + \sin(\beta)\sin(-\alpha)
$ \cos(-\theta) = \cos(\theta)$ \sin(-\theta) = -\sin(\theta)であるので
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\beta)\cos(\alpha) - \sin(\beta)\sin(\alpha)
見やすく整理して
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)
$ \beta の符号を置き換えると
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(-\beta) - \sin(\alpha)\sin(-\beta)
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)
$ \alphaを $ {\pi \over 2} - \alphaに置き換えると
$ \cos({\pi \over 2} - \alpha - \beta) = \cos({\pi \over 2} -\alpha)\cos(\beta) + \sin({\pi \over 2} -\alpha)\sin(\beta)
$ \cosは偶関数なので
$ \cos({\pi \over 2} - \alpha - \beta) = \cos(\alpha + \beta - {\pi \over 2})
位相が$ - {\pi \over 2}ずれていると考えれば
$ = \sin(\alpha + \beta)
以下
$ \cos({\pi \over 2} -\alpha) = \sin(\alpha)
$ \sin({\pi \over 2} -\alpha) = \cos(\alpha)
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)
$ \sinは奇関数なので
$ \sin(-\beta) = -\sin(\beta)
$ \cosは偶関数なので
$ \cos(-\beta) = \cos(\beta)
これで、以下が言える。
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta
$ M(\sin \theta, \cos \theta)とすると、それは単位円の円周上の点になる。
つまり、距離$ MOは1
$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
参考