三角関数
2次元ユークリッド平面上の単位円(原点を中心とする半径1の円)に対して
点$ (0, 0)を原点$ O
点$ (0, 1) を始点$ S
単位円上の点$ (x, y)を$ P
角度$ \angle POSを$ \theta
としたとき、
$ x = \cos \theta (これを余弦と呼ぶ)
$ y = \sin \theta (これを正弦と呼ぶ)
としたものが、三角関数の基礎となる。
角度から単位円上の位置を求めることができる。
拡大縮小することで、任意の大きさの直角三角形に当てはめることができる。
基本的性質
$ \sin(\theta + 2\pi k) = \sin(\theta)\quad(kは整数)
$ \cos(\theta + 2\pi k) = \cos(\theta)\quad(kは整数)
引数を符号反転させた場合
$ \sin(-\theta) = -\sin(\theta)
$ \cos(-\theta) = \cos(\theta)
$ \sinと$ \cosは$ {\pi \over 2}(90度)だけ位相がずれている。
$ \sin(\theta + {\pi \over 2}) = \cos(\theta)
$ \sin(\theta - {\pi \over 2}) = -\cos(\theta)
$ \cos(\theta + {\pi \over 2}) = -\sin(\theta)
$ \cos(\theta - {\pi \over 2}) = \sin(\theta)
$ P(\sin \theta, \cos \theta)とすると、それは単位円の円周上の点になる。
つまり、距離$ POは1
$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
半径$ rの円周の場合は
$ r\sin^2 \theta + r\cos^2 \theta = r
三角関数が分かると何がうれしいのか?
直角三角形の直角に接する辺の長さがわかる。
回転を表すことができる。
波を表すことができる。