ある、任意、すべての使い分け

exist, any, arbitrary, all の使い分け

any と arbitrary は同じ意味で「任意の」を意味する。

「ある」は exist と some の2つの意味で使われてしまう。

「任意」(any)は「集合の中からどれか1つの要素を(自由に)選ぶこと」

「すべて」(all)は2つの解釈があり

「集合の中の要素すべて」

「集合の中の要素のどれを選んでも」

これは文脈によって使い分けられる。

「ではない」(not)はどこまでを打ち消しているか?

自然言語では係り受けが曖昧であるため、記号で書くか、括弧付けして明確化するか、何らかの方法で限定されるようにするしかない。

「任意の$ x」でも、文脈によっては、意味が変わってしまうことがある。

「$ P(x)が真となる任意の$ x」

これは $ \left\{ x \mathrel{}\middle|\mathrel{} P(x) \right\}

「任意の$ xで$ P(x)が真」

これは$ \forall x P(x)と同じ

ある$ xで$ P(x)が真

$ P(x)が真となる$ xが存在する。(誤解されない表記)

$ \exist x P(x)

すべての$ xで$ P(x)が真

$ \forall x P(x)

$ \lnotは$ \forall$ \existより結合度は弱い。

「すべての$ xで$ P(x)が真」ではない

$ \lnot \forall x P(x)

$ \iff \exist x \neg P(x)

ある$ xで「$ P(x)は真ではない。」

$ P(x)が真ではない$ xが存在する。(括弧なしで正しく表現するにはたぶんこう書くしかない。)

英語では、"$ P(x) is not true for all $ x" と書くらしい。

ここからすると、「すべての$ xで$ P(x)ではない」となるか。

すべての$ xで「$ P(x)が真ではない」

$ \forall x \lnot P(x)

$ \iff \neg \exist x P(x)

「ある$ xで$ P(x)は真」ではない。

$ P(x)が真である$ xは存在しない。(括弧なしで正しく表現するにはたぶんこう書くしかない。)

英語では、"$ P(x) is not true for any $ x" と書くらしい。

ここからすると、「任意の$ xで$ P(x)ではない」となるか。

(元の査読の指摘の方が逆に間違っているような気がする)

参考