inf inf は順序交換できるのか
inf sup は一般には一般には順序交換できなく、順序交換可能な条件について研究がされてきてた（例: Sion's minimax theorem）が、inf inf の場合はどうなんだろうとふと思ったため考えてみた。
結論としては関数 $ f:X\times Y\to \mathbb{R}:(x,y)\mapsto f(x,y) ($ X, Y: 定義域となる集合 )に関して$ \inf_{x\in X} \inf_{y\in Y} f(x,y) = \inf_{y\in Y} \inf_{x\in X} f(x,y)が成り立つ。
証明：
inf の定義から$ ( \forall x \in X )( \forall \hat{y} \in Y ) \inf_{y \in Y} f(x,y) \leq f(x,\hat{y})が成り立つ。
このとき、不等式の両辺で$ xについてinfを取ると$ ( \forall \hat{y} \in Y ) \inf_{x\in X}\inf_{y \in Y} f(x,y) \leq \inf_{x\in X}f(x,\hat{y})を得る。
さらに不等式の両辺で$ \hat{y}についてinfを取ると$ \inf_{x\in X}\inf_{y \in Y} f(x,y) \leq \inf_{y\in Y}\inf_{x\in X}f(x,y)を得る。
同様の方法で$ \inf_{x\in X}\inf_{y \in Y} f(x,y) \geq \inf_{y\in Y}\inf_{x\in X}f(x,y)についても示すことができ、上の式と合わせて$ \inf_{x\in X}\inf_{y \in Y} f(x,y) = \inf_{y\in Y}\inf_{x\in X}f(x,y)を得る。