triad
$ \big< V_3 \big| \nabla_{V_1} V_2 \big>
$ = v_3 \cdot ( w_1 \times v_2 ) - v_3 \cdot ( v_1 \times w_2 ) - w_3 \cdot (v_1 \times v_2)
$ + v_3 \cdot (b_1 \times j_2) - v_3 \cdot (j_1 \times b_2) + j_3 \cdot (b_1 \times v_2) $ - j_3 \cdot (v_1 \times b_2) - b_3 \cdot (v_1 \times j_2) - b_3 \cdot (j_1 \times v_2)
$ - \alpha j_3 \cdot (b_1 \times j_2) + \alpha j_3 \cdot (j_1 \times b_2) + \alpha b_3 \cdot (j_1 \times j_2)
$ = v_2 \cdot ( v_3 \times w_1 ) $ - v_3 \cdot ( v_1 \times w_2 ) $ - v_1 \cdot (v_2 \times w_3)
$ + v_3 \cdot (b_1 \times j_2) $ + v_3 \cdot (b_2 \times j_1) $ - v_2 \cdot (b_1 \times j_3)
$ - v_1 \cdot (b_2 \times j_3) $ + v_1 \cdot (b_3 \times j_2) $ - v_2 \cdot (b_3 \times j_1)
$ - \alpha j_3 \cdot (b_1 \times j_2) $ + \alpha j_1 \cdot (b_2 \times j_3) $ + \alpha j_2 \cdot (b_3 \times j_1)
$ = v_2 \cdot ( v_3 \times w_1 ) $ - v_3 \cdot ( v_1 \times w_2 ) $ - v_1 \cdot (v_2 \times w_3)
$ + (v_3 - \alpha j_3)\cdot (b_1 \times j_2) $ + v_3 \cdot (b_2 \times j_1) $ - v_2 \cdot (b_1 \times j_3)
$ - (v_1 - \alpha j_1) \cdot (b_2 \times j_3) $ + v_1 \cdot (b_3 \times j_2) $ - (v_2 - \alpha j_2) \cdot (b_3 \times j_1)
$ = v_2 \cdot ( v_3 \times w_1 - b_1 \times j_3 ) $ - v_3 \cdot ( v_1 \times w_2 - b_2 \times j_1 ) $ \underbrace{ - v_1 \cdot (v_2 \times w_3 - b_3 \times j_2) }_{A↓} $ + (v_3 - \alpha j_3)\cdot (b_1 \times j_2) $ - (v_1 - \alpha j_1) \cdot (b_2 \times j_3) $ \underbrace{ - (v_2 - \alpha j_2) \cdot (b_3 \times j_1) }_{B↓}
$ \big< V_3 \big| [ V_2, V_1] \big>
$ = (\alpha w_3 + b_3) \cdot (v_2 \times v_1 ) + ( - b_3 ) \cdot [(v_2-\alpha j_2)\times(v_1-\alpha j_1)]
$ = \alpha w_3 \cdot (v_2 \times v_1 ) + b_3 \cdot (v_2 \times v_1 ) $ + ( - b_3 ) \cdot v_2 \times v_1 $ + ( - b_3 ) \cdot [(-\alpha j_2)\times v_1] $ + ( - b_3 ) \cdot [v_2 \times ( -\alpha j_1)] $ + ( - b_3 ) \cdot [(-\alpha j_2)\times(-\alpha j_1)]
$ = \alpha w_3 \cdot (v_2 \times v_1 ) $ + b_3 \cdot ( \alpha j_2 \times v_1 ) $ + b_3 \cdot ( v_2 \times \alpha j_1 ) $ - b_3 \cdot ( \alpha j_2 \times \alpha j_1 )
$ = \underbrace{ - \alpha v_1 \cdot (v_2 \times w_3 ) + \alpha v_1 \cdot ( b_3 \times j_2 ) }_{A↑} $ \underbrace{ - \alpha v_2 \cdot ( b_3 \times j_1 ) + \alpha^2 j_2 \cdot ( b_3 \times j_1 ) }_{B↑}
$ \big< V_{T} \big| [ V_{F}, V_{B}] \big>
$ = (\alpha w_{T} + b_{T}) \cdot (v_{F} \times v_{B} ) + ( - b_{T} ) \cdot [(v_{F}-\alpha j_{F})\times(v_{B}-\alpha j_{B})]
$ = \alpha w_{T} \cdot (v_{F} \times v_{B} ) + b_{T} \cdot (v_{F} \times v_{B} ) $ + ( - b_{T} ) \cdot v_{F} \times v_{B} $ + ( - b_{T} ) \cdot [(-\alpha j_{F})\times v_{B}] $ + ( - b_{T} ) \cdot [v_{F} \times ( -\alpha j_{B})] $ + ( - b_{T} ) \cdot [(-\alpha j_{F})\times(-\alpha j_{B})]
$ = \alpha w_{T} \cdot (v_{F} \times v_{B} ) $ + b_{T} \cdot ( \alpha j_{F} \times v_{B} ) $ + b_{T} \cdot ( v_{F} \times \alpha j_{B} ) $ - b_{T} \cdot ( \alpha j_{F} \times \alpha j_{B} )
$ = \big< F \big| B \big| T \big>_{uuw} $ + \big< B \big| T \big| F \big>_{ubj} $ - \big< F \big| T \big| B \big>_{ubj} $ - \alpha \big< B \big| T \big| F \big>_{jbj}
$ = - \big< B \big| F \big| T \big>_{uuw} $ + \big< B \big| T \big| F \big>_{ubj} $ - \big< F \big| T \big| B \big>_{ubj} $ - \alpha \big< B \big| T \big| F \big>_{jbj}
$ = v_{F} \cdot ( v_{T} \times w_{B} ) $ - v_{T} \cdot ( v_{B} \times w_{F} ) $ - v_{B} \cdot (v_{F} \times w_{T})
$ + (v_{T} - \alpha j_{T})\cdot (b_{B} \times j_{F}) $ + v_{T} \cdot (b_{F} \times j_{B}) $ - v_{F} \cdot (b_{B} \times j_{T})
$ - (v_{B} - \alpha j_{B}) \cdot (b_{F} \times j_{T}) $ + v_{B} \cdot (b_{T} \times j_{F}) $ - (v_{F} - \alpha j_{F}) \cdot (b_{T} \times j_{B})
$ \partial_t \big< V_T \big| V_T \big> $ = - \big< V_T \big| \nabla_{V_B} V_F \big>
$ = - v_{F} \cdot ( v_{T} \times w_{B} ) $ + v_{T} \cdot ( v_{B} \times w_{F} ) $ + v_{B} \cdot (v_{F} \times w_{T})
$ - (v_{T} -\alpha j_{T})\cdot (b_{B} \times j_{F}) $ - v_{T} \cdot (b_{F} \times j_{B}) $ + v_{F} \cdot (b_{B} \times j_{T})
$ + (v_{B} -\alpha j_{B}) \cdot (b_{F} \times j_{T}) $ - v_{B} \cdot (b_{T} \times j_{F}) $ + (v_{F} -\alpha j_{F}) \cdot (b_{T} \times j_{B})
$ = - v_{F} \cdot ( v_{T} \times w_{B} - b_{B} \times j_{T} ) $ + v_{T} \cdot ( v_{B} \times w_{F} - b_{F} \times j_{B} ) $ + v_{B} \cdot ( v_{F} \times w_{T} - b_{T} \times j_{F} )
$ - (v_{T} -\alpha j_{T})\cdot (b_{B} \times j_{F}) $ + (v_{B} -\alpha j_{B}) \cdot (b_{F} \times j_{T}) $ + (v_{F} -\alpha j_{F}) \cdot (b_{T} \times j_{B})