sin(x)/x→1(as x→0)の証明のつもりで始めた円の面積の公式の証明
証明の動機:小学校の算数での円の面積の説明「丸いピザを切って並べ替える操作を、長方形になるまで細かく切り続ける」のを数学的に論証しないのがキモチワルイから。
まず、、、
直感的には半径$ r の扇形の面積は半径$ r の2乗と中心角$ \theta に比例するので:$ S = C r^2 \theta .
(円の面積の公式$ S = \pi r^2 は使えない)
直感的には半径$ r の円とその円に内接、外接する正N角形の面積の大小関係より
$ 2N \times \left( \frac12 r \times r \sin\frac{\pi}{N} \right) < 2N \times \left( C r^2 \frac{\pi}{N} \right) < 2N \times \left( \frac12 r \times r \tan\frac{\pi}{N} \right)
$ \Longrightarrow N \sin\frac{\pi}{N} < 2 C \pi < N \tan\frac{\pi}{N}
ここで$ N \sin\frac{\pi}{N} は上に有界な単調増加列なので単調収束定理より収束する:$ \lim_{N\to\infty} N \sin\frac{\pi}{N} = \alpha 一方で$ N \tan\frac{\pi}{N} は下に有界な単調減少列なので収束する:$ \lim_{N\to\infty} N \tan\frac{\pi}{N} = \frac{ \displaystyle \lim_{N\to\infty} N \sin\frac{\pi}{N} }{ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \cos\frac{\pi}{N}} = \frac\alpha1 = \alpha
よって不等式よりはさみうちの原理から:$ \alpha = 2C \pi
一方で、、、
半径$ r の円に内接する正N角形の周長は:$ l_{N} = 2N \times r \sin\frac{\pi}{N}
これは$ N \to \infty で収束して:$ \lim_{N\to\infty} l_N = 4 C \pi r
一方、半径$ r の円に外接する正N角形の周長は:$ L_{N} = 2N \times r \tan\frac{\pi}{N}
これも$ N \to \infty で収束して:$ \lim_{N\to\infty} L_N = 4 C \pi r
ここで「外接する正N角形の周長が円周よりも長い(ので上から円周の値を抑えている)」とは一言も言えてなくて、「図形的に挟まれた領域内に円周がある」「挟みこむ図形の周長が同じ値に収束する」としか言えてない。
直感的にはこれらは円の周長$ 2 \pi r (円周率$ \pi の定義)に収束しているはずなので:$ C = 1/2
よって、、、
円の面積は$ S = \lim_{N\to\infty} 2N \times \left( C r^2 \frac{\pi}{N} \right) = \pi r^2
それから$ \lim_{N\to\infty} \frac{N}{\pi} \sin\frac{\pi}{N} = 1 (点列収束だけど$ \lim_{x\to0+0} \frac{ \sin x}{x} = 1 )
ついでに$ \pi < N \tan\frac{\pi}{N} より、円周より外接する正N角形の周長が長い。(円周より内接する正N角形の周長が短いのは直感的に「2点の最短距離は2点を結ぶ線分」であることより明らかであったが、外接多角形はそうではなかった。参照↓)
蛇足、、、
弧長$ \theta を曲線の長さの原義に戻って「任意の線分分割の上限」,$ \sup_{\{P\}} \sum_{k=1}^{N} \overline{P_kP_{k-1}} ,で定義すると、どの分割も$ \sum_{k=1}^{N} \overline{P_kP_{k-1}} < \tan\theta で上を抑えることができるので$ \theta < \tan\theta . 少なくともRiemann積分の知識を前提としている。
長さにこだわった$ \theta < \tan\theta の論証の$ |PQ| < |RT| の部分が$ |PQ| < \overset{\large\frown}{PQ} < |RT| でないところが、曲線の長さとその外の線分の比較ができていないので、とてもキモチワルイ↓
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J. Stewart, "Calculus" 8-th Ed., (2016), Appendix F, p. A43
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