resonant cond. HMHD

phase velocity is $ \omega(k,\sigma_k,s_k) = - k_{\parallel} \Lambda^{\dag}(k,\sigma_k,s_k) = - B_{0}k_{\parallel} \widetilde\Lambda(k,\sigma_k,-s_k) …（3 lines below Eq. (32) of ）

eigenvalues satisfy: $ \Lambda + \Lambda^{\dag} = -B_{0} \alpha \sigma k + \frac{2\alpha\Omega_{0}}{\alpha \sigma k} ，$ \Lambda \Lambda^{\dag} = -B_{0}(\alpha\Omega_{0} + B_{0})

introducing $ \widetilde\Lambda := \frac{\Lambda}{B_{0}} ,$ \widetilde\Omega := \frac{\Omega_{0}}{B_{0}} $ \Longrightarrow $ \widetilde\Lambda + \widetilde\Lambda^{\dag} = - \alpha \sigma k + \frac{2\widetilde\Omega}{\sigma k} ，$ \widetilde\Lambda \ \widetilde\Lambda^{\dag} = - (2\alpha\widetilde\Omega + 1)

$ \widetilde\Lambda = - \frac{\alpha \sigma k}{2} + \frac{\widetilde\Omega}{\sigma k} \pm \sqrt{(- \frac{\alpha \sigma k}{2} + \frac{\widetilde\Omega}{\sigma k})^2 + (2\alpha\widetilde\Omega + 1) } $ = - \sigma ( \frac{\alpha k}{2} + \frac{\widetilde\Omega}{k} ) \pm \sqrt{( \frac{\alpha k}{2} + \frac{\widetilde\Omega}{k})^2 + 1 }

if$ \tilde\Omega = 0 ，$ \widetilde\Lambda + \widetilde\Lambda^{\dag} = - \alpha \sigma k ，$ \widetilde\Lambda \widetilde\Lambda^{\dag} = - 1

resonant condition：$ \left\{\begin{array}{r} \vec k + \vec p + \vec q = \vec 0 \\ \omega_k + \omega_p + \omega_q = 0 \end{array}\right. …（Eq. (53) of ）

ここで$ \omega_k + \omega_p + \omega_q = 0 $ \Longrightarrow $ k_\parallel \lambda_k + p_\parallel \lambda_p + q_\parallel \lambda_q = 0 である

ここで$ \vec k + \vec p + \vec q = \vec 0 より$ k_\parallel + p_\parallel + q_\parallel = 0 である

よって共鳴条件から$ \left\{\begin{array}{r} k_\parallel \lambda_k + p_\parallel \lambda_p + q_\parallel \lambda_q = 0 \\ k_\parallel + p_\parallel + q_\parallel = 0\end{array}\right. が導かれる。これより$ ( k_\parallel , p_\parallel , q_\parallel ) \perp ( \lambda_k , \lambda_p , \lambda_q ) , (1,1,1) なので

$ ( \lambda_p - \lambda_q , \lambda_q - \lambda_k , \lambda_k - \lambda_p ) \propto ( k_\parallel, p_\parallel, q_\parallel ) …①（Eq. (54) of ）

共鳴条件を探す段取り：ただし$ \lambda_p, \ \lambda_q, \ \lambda_k が互いに異なる場合にかぎる

$ p > 0 を1つ決める⇒$ \lambda_p = \widetilde\Lambda(|\vec p|,\sigma_p,-s_p) が決まる。

$ q > 0 を1つ決める⇒$ \lambda_q = \widetilde\Lambda(|\vec q|,\sigma_q,-s_q) が決まる

$ \vec k + \vec p + \vec q = \vec 0 より$ k = \sqrt{ p^2 + q^2 + 2 \vec p \cdot \vec q } $ = \sqrt{ p^2 + q^2 + 2 p q \cos\vartheta } より$ \vartheta \in [0,\pi] を1つ決める⇒$ \lambda_k = \widetilde\Lambda(|\vec k|,\sigma_k,-s_k) が決まる

ここで$ p < q < k （つまり$ - \frac{p}{2q} < \cos\vartheta \leq 1 ）となるようにセットして探索すると、重複ないかも

STEP2：$ p_\parallel, \ q_\parallel, \ k_\parallel を決める

各々の成分ごとに$ -(k,p,q) \leqq (k_\parallel,p_\parallel,q_\parallel) = C( \lambda_p - \lambda_q , \lambda_q - \lambda_k , \lambda_k - \lambda_p ) \leqq (k,p,q)

$ {　} つまり$ - \frac{k}{|\lambda_p - \lambda_q|} \leq C \leq \frac{k}{|\lambda_p - \lambda_q|} ，$ - \frac{p}{|\lambda_q - \lambda_k|} \leq C \leq \frac{p}{|\lambda_q - \lambda_k|} ，$ - \frac{q}{|\lambda_k - \lambda_p|} \leq C \leq \frac{q}{|\lambda_k - \lambda_p|}

$ {　} \therefore $ |C| \leq \underline{C} := \min \bigg\{ \frac{k}{|\lambda_p - \lambda_q|} , \frac{p}{|\lambda_q - \lambda_k|}, \frac{q}{|\lambda_k - \lambda_p|} \bigg\} …こっちが計算はやいな

$ {　} この条件を満たす$ C を１つ決めて$ p_\parallel, \ q_\parallel, \ k_\parallel を決める

すると自動的に$ p_\perp = \sqrt{ p^2 - p_\parallel^2 } ，$ q_\perp = \sqrt{ q^2 - q_\parallel^2 } ，$ k_\perp = \sqrt{ k^2 - k_\parallel^2 } が決まる

$ \boxed{ \{ p_\perp, \ q_\perp, \ k_\perp \} は三角不等式を満たすのか？} ここの評価が手計算では難しそう。Mathematicaを使った計算では$ |C_\parallel| < \underline{C}_\parallel を満たしていても、三角不等式が成り立っていない場合が簡単に見つかった；

$ {　} $ 0 \underset{?}{<} p_\perp + q_\perp + k_\perp - 2 \max\{ p_\perp, \ q_\perp, \ k_\perp \} …$ \{ p_\perp, \ q_\perp, \ k_\perp \} が不等式を満たすかどうかをこの式で計算できる

STEP3：$ p_x, \ p_y, \ q_x, \ q_y, \ k_x, \ k_y を決める

$ p_x^2 + p_y^2 = p_\perp^2 ，$ q_x^2 + q_y^2 = q_\perp^2 ，$ k_x^2 + k_y^2 = k_\perp^2 である。

これに三波相互作用の条件，$ p_x + q_x + k_x = 0 ，$ p_y + q_y + k_y = 0 が加わる…変数6, 式5, 自由度1

解けるのか？

$ k_x = k_\perp := \sqrt{k^2-k_\parallel^2} ,$ k_y = 0 とおいて、他の成分が形式的に導けるか試す；

（ここで$ k_x = k_\perp\cos\vartheta ，$ k_y = k_\perp\sin\vartheta とおく自由度があって、いまは$ \vartheta=0 を取っている）

$ p_y = - q_y , $ p_x = - q_x - k_\perp より

$ (-q_x-k_\perp)^2 + (-q_y)^2 = p_\perp^2

$ \Longrightarrow $ 2 q_x k_\perp + k_\perp^2= p_\perp^2 - q_\perp^2

$ \Longrightarrow $ \boxed{ q_x } = \frac{p_\perp^2 - q_\perp^2 - k_\perp^2}{2 k_\perp} $ = \frac{p_\perp^2 - q_\perp^2}{2 k_\perp} - \frac12k_\perp $ = q_\perp \frac{p_\perp^2 - q_\perp^2 - k_\perp^2}{2 k_\perp q_\perp} $ \boxed{ = - q_\perp \cos P_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} } …負号？

$ {　}\Longrightarrow $ \boxed{ p_x } = - q_x - k_x = - \frac{p_\perp^2 - q_\perp^2}{2 k_\perp} + \frac12k_\perp - k_\perp $ = - \frac{p_\perp^2 - q_\perp^2}{2 k_\perp} - \frac12k_\perp $ = \frac{ - p_\perp^2 + q_\perp^2 - k_\perp^2 }{2 k_\perp}

$ {　　} \boxed{ = - p_\perp \cos Q_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} }

$ {　} ここで$ p_x + q_x = - k_x に代入すると$ \boxed{ - p_\perp \cos Q_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} - q_\perp \cos P_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} = - k_\perp } となり、

$ {　} 第１余弦定理より$ \{p_\perp,q_\perp,k_\perp\} が三角形をなすならば必ず成り立つ

$ \Longrightarrow $ q_y^2 = q_\perp^2 - q_x^2 = q_\perp^2 - (\frac{p_\perp^2 - q_\perp^2 - k_\perp^2}{2 k_\perp})^2 $ = \left[ q_\perp - \frac{p_\perp^2 - q_\perp^2 - k_\perp^2}{2 k_\perp} \right]\left[ q_\perp + \frac{p_\perp^2 - q_\perp^2 - k_\perp^2}{2 k_\perp} \right]

$ {　} = \left[ \frac{-p_\perp^2 + ( q_\perp + k_\perp )^2}{2 k_\perp} \right]\left[ \frac{p_\perp^2 - (q_\perp - k_\perp)^2}{2 k_\perp} \right] …まるでヘロンの公式のようだ；

$ {　　}\boxed{ q_y = \pm q_\perp \sin P_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} } より$ q_x の結果とconsistent

$ \Longrightarrow $ \boxed{ p_y } = - q_y = \mp q_\perp \sin P_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} $ = \mp \frac{ S_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} }{k_\perp} $ \boxed{ = \mp p_\perp \sin Q_{\{p_\perp,q_\perp,k_\perp\}} }

代数計算はできた。$ \{ p_\perp, \ q_\perp, \ k_\perp \} が三角形をなすならばconsistentな波数を作れる