S=ab cotθ
三角形の内接円と各辺の接点と頂点の距離を$ a, b, c とすると、3辺の長さは$ a+b, b+c, c+a となる。長さ$ c の線分の挟む角を$ 2\theta とおくと、余弦定理より
$ (a+c)^2+(b+c)^2-(a+b)^2 = 2(a+c)(b+c)\cos2\theta
$ \Longrightarrow $ 2ac + 2bc + 2c^2 - 2ab = (2ab + 2ac + 2bc +2 c^2)\cos2\theta
$ \Longrightarrow $ (2ac + 2bc + 2c^2)(1-\cos2\theta) = 2ab(1 + \cos2\theta)
$ \Longrightarrow $ (2a + 2b + 2c)r\cot\theta(1-\cos2\theta) = 2ab(1 + \cos2\theta)
$ \Longrightarrow $ (a + b + c)r = ab\frac{(1 + \cos2\theta)}{\cot\theta(1-\cos2\theta)}=ab\cot\theta