Kawazura Hameiri PoP 19 082513 (2012)

Eq. (16)

$ \{F,G\} = \int {\rm d}^3x \Bigg\{ $ \underbrace{ \frac{\nabla\times\bm U}{\rho} \cdot ( \frac{\delta F}{\delta\bm U} \times \frac{\delta G}{\delta\bm U} ) }_{\rho^{-1}d\omega_{\bm U}^2(\frac{\delta F}{\delta\bm U} , \frac{\delta G}{\delta\bm U})} $ + $ \overbrace{ \frac{\nabla\times\bm A}{\tau_e} \cdot ( \frac{\delta F}{\delta\bm A} \times \frac{\delta G}{\delta\bm A} ) }^{\bm A \cdot \nabla\times [ \frac{1}{\tau_e} ( \frac{\delta F}{\delta\bm A} \times \frac{\delta G}{\delta\bm A} )] }

$ + \phantom{\Bigg|^{l}} $ ( \underbrace{ \frac{\delta G}{\delta\bm U} \cdot \!\!\!\! \overbrace{ \nabla \frac{\delta F}{\delta\rho} }^{微分 1-形式} \!\!\!\! }_{微分 3-形式} - \frac{\delta F}{\delta\bm U} \cdot \nabla \frac{\delta G}{\delta\rho} ) $ + $ ( \frac{\delta G}{\delta\bm A} \cdot \nabla \frac{\delta F}{\delta\tau_e} - \frac{\delta F}{\delta\bm A} \cdot \nabla \frac{\delta G}{\delta\tau_e} )

$ + $ s_i \nabla \cdot \frac{1}{\rho} ( \frac{\delta F}{\delta s_i} \frac{\delta G}{\delta\bm U} - \frac{\delta G}{\delta s_i}\frac{\delta F}{\delta\bm U} ) $ + $ s_e \nabla \cdot \frac{1}{\tau_e} ( \frac{\delta F}{\delta s_e} \frac{\delta G}{\delta\bm A} - \frac{\delta G}{\delta s_e}\frac{\delta F}{\delta\bm A} ) $ \Bigg\}

↑

本当は$ \{F,G\}\big|_{\bm U,\rho,s_i,\bm A,\tau_e,s_e} と書くべき。例えば$ \frac{\delta F}{\delta\bm U} は点$ \bm U \in \Omega^1(M) の近傍での積分$ \int {\rm{d}}^3\vec x \ F(\bm U + \epsilon\bm\xi) の値の$ O(\epsilon) の項の被積分関数の$ \bm\xi の内積の相手を表すので、被積分関数の中の素の$ \bm U , \rho , \cdots は汎関数に$ \bm U , \rho , \cdots が代入されているということ。

$ \omega^3 を$ \omega^1 で汎関数微分しているから$ \omega^2

$ F, G は「示量性変数である微分3形式の係数部分」：$ F{\rm{d}}^3\vec x が示量性変数。物理量は座標変換に対して不変な微分3形式：体積：$ \omega^3_V = {\rm{d}}^3\vec x = \sqrt{|g|} \ dq^1 \wedge dq^2 \wedge dq^3 （$ g は座標系$ (q^i) に伴うRiemann計量）；質量：$ M = \omega^3_M = \rho \ \omega^3_V ；運動エネルギー：$ K = \omega^3_K = \frac12|\bm U|^2 M （$ \bm U は微分1-形式。$ \frac{\delta K}{\delta\bm U} = M\bm U は運動量を表す$ 微分3形式\otimes\mathfrak X ）；内部エネルギー：$ U = \omega^3_U ；熱力学の第1法則：$ \Delta U = - p \Delta V + T \Delta S （$ \Delta V = L_{\bm\xi}\,\omega^3_V ，$ L はLie微分，$ \bm\xi \in \mathfrak X は変分の変位ベクトル）；

$ \rho, s_i のペアに対する$ \frac{\delta F}{\delta\rho} \frac{\delta G}{\delta s_i} - \frac{\delta G}{\delta\rho} \frac{\delta F}{\delta s_i} は無い。片割れは必ず$ \frac{\delta F}{\delta\bm U} になっている。これはLie-PoissonのLie側が微分同窓写像群$ G = {\rm{Diff}}M を主な群とする半直積群で構成されているから。

$ F = F( \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ \rho,\bm U }^{Fが乗っている空間の変数} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! ) = \frac12\rho|\bm U|^2 と置くと、Lagrange的移流の考察より$ \frac{\delta F}{\delta\bm U} = \rho\bm U \in \overbrace{ \omega^3の係数部分 }^{\rho\,{\rm{d}}^3\vec xで\omega^3} \otimes \!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ \mathfrak X }^{\omega^1の受け皿} \!\!\!\!\!\!\!\! であるから

$ \frac{\nabla\times\bm U}{\rho} \cdot ( \frac{\delta F}{\delta\bm U} \times \frac{\delta G}{\delta\bm U} ) の変換則の構造 $ = \frac{\omega^2}{\omega^3の係数} \cdot ( (\omega^3の係数\otimes\mathfrak X) \times (\omega^3の係数\otimes\mathfrak X) ) $ = \omega^3の係数 \otimes \underbrace{ \omega^2(\mathfrak X,\mathfrak X) }_{\omega^0} $ = (\omega^3の係数) より$ \int {\rm{d}}^3\vec{x} \frac{\nabla\times\bm U}{\rho} \cdot ( \frac{\delta F}{\delta\bm U} \times \frac{\delta G}{\delta\bm U}) の構造 $ = \int \omega^3

↑

$ \underbrace{\frac{\nabla\times\bm U}{\rho}}_{\omega^2/\omega^3 \approx \mathfrak X} と$ \frac{\delta F}{\delta\bm U} \times \frac{\delta G}{\delta\bm U} $ = \underbrace{(\omega^3の係数\otimes\mathfrak X)}_{\omega^2} \times \underbrace{(\omega^3の係数\otimes\mathfrak X)}_{\omega^2} $ = \omega^3の係数\otimes \underbrace{\omega^3の係数\otimes(\mathfrak X \times \mathfrak X)}_{\approx \omega^1} とも読める

$ \frac{\delta G}{\delta\bm U} \cdot \nabla \frac{\delta F}{\delta\rho} の変換則の構造 $ = \rho \ \boxed{ \frac{1}{\rho} \frac{\delta G}{\delta\bm U} } \cdot \nabla \frac{\delta F}{\delta\rho} の変換則の構造 $ = \omega^3の係数 \otimes \mathfrak X \cdot d\omega^0 $ = \omega^3の係数 \otimes \underbrace{ d\omega^0(\mathfrak X) }_{\omega^0 \sim L_{\mathfrak X}\omega^0} $ = (\omega^3の係数) より$ \int {\rm{d}}^3\vec x ( \frac{\delta G}{\delta\bm U} \cdot \nabla \frac{\delta F}{\delta\rho} ) の構造 $ = \int \omega^3

エントロピーは示量性変数なので微分3形式$ S = s_i \ \rho \ {\rm{d}}^3\vec x （$ s_i \in \omega^0 ，示強性変数）である。

$ F = F( \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ \rho,s_i,\bm U }^{Fが乗っている空間の変数} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! ) = F(s_i,...) ，$ s_i \in \Omega^0 と置くと、Lagrange的移流の考察より$ \frac{\delta F}{\delta s_i} = (\omega^3の係数) であるから

$ s_i \nabla \cdot \frac{1}{\rho} \frac{\delta F}{\delta s_i} \frac{\delta G}{\delta\bm U} の変換則の構造 $ = s_i \nabla \cdot \boxed{ \frac{1}{\rho} \frac{\delta G}{\delta\bm U} }\frac{\delta F}{\delta s_i} の変換則の構造 $ = \omega^0 \nabla\cdot ( \ \boxed{ \frac{\omega^3の係数\otimes\mathfrak X}{\omega^3の係数} } \ \omega^3の係数 \ ) $ = \omega^0 \nabla\cdot ( \omega^3の係数\otimes\mathfrak X ) $ = \omega^0 \!\!\!\! \underbrace{ L_{\mathfrak X} \omega^3 }_{\omega^3のLie微分} \!\!\!\! $ = (\omega^3の係数) より$ \int {\rm{d}}^3\vec x ( s_i \nabla \cdot \frac{1}{\rho} \frac{\delta F}{\delta s_i} \frac{\delta G}{\delta\bm U} ) の構造 $ = \int \omega^3

Poisson括弧の$ \bm\xi での値：$ \{F,G\}\Big|_{\bm\xi} $ = \bigg< \bm\xi \ \bigg| \ \Big[ \frac{\delta F}{\delta\bm\xi} , \frac{\delta G}{\delta\bm\xi} \Big] \ \bigg> $ = \int{\rm{d}}^3\vec x \frac{}{\omega^3の係数}

Particle Trajectory Map $ \vec X(\vec a,t) によってLagrange的に移流される微分2-形式の係数の変換則：$ \omega_{ij}\big(\vec a,0\big) = \omega_{kl}\big(\vec X(\vec a,t),t\big) \frac{\partial X^k}{\partial q^i} \frac{\partial X^l}{\partial q^j} ；移流の表現：$ \omega_{ij}\big(\vec a,0\big) da^i \wedge da^j = \omega_{ij}\big(\vec a,0\big) dX^i(\vec a,0) \wedge dX^j(\vec a,0) $ \mapsto \omega_{kl}\big(\vec X(\vec a,t),t\big) dX^k(\vec a,t) \wedge dX^l(\vec a,t) $ = \omega_{kl}\big( \underbrace{ \vec X(\vec a,t) }_{=: \vec q} , t \big) \left.\frac{\partial X^k}{\partial q^i}\right|_{(\vec a,t)} \left.\frac{\partial X^l}{\partial q^j}\right|_{(\vec a,t)} dq^i \wedge dq^j

Grassmann algebra なので対称テンソル$ \bm v\otimes\bm v に持ち込むのは難しい。

$ \rho_{lmn}\big(\vec{X}(\vec{a},t),t\big) dX^l(\vec{a},t) \wedge dX^m(\vec{a},t) \wedge dX^n(\vec{a},t) $ = \rho_{lmn}\big(\vec{X}(\vec{a},t),t\big) \bigg( \frac{dX^l}{dq^i}\bigg|_{(\vec{a},t)} da^i \bigg) \wedge \bigg( \frac{dX^m}{dq^j}\bigg|_{(\vec{a},t)} da^j \bigg) \wedge \bigg( \frac{dX^n}{dq^k}\bigg|_{(\vec{a},t)} da^k \bigg) $ = \rho_{lmn}\big(\vec{X}(\vec{a},t),t\big) \bigg[ \frac{dX^l}{dq^i} \frac{dX^m}{dq^j} \frac{dX^n}{dq^k} \bigg]_{(\vec{a},t)} da^i \wedge da^j \wedge da^k

Lagrange的保存量ならば$ \rho_{lmn}\big(\vec{X}(\vec{a},t),t\big) \bigg[ \frac{dX^l}{dq^i} \frac{dX^m}{dq^j} \frac{dX^n}{dq^k} \bigg]_{(\vec{a},t)} da^i \wedge da^j \wedge da^k = \rho_{ijk}(\vec{a},0) \ da^i \wedge da^j \wedge da^k つまり$ \frac{d}{dt}\Bigg[ \rho_{lmn}\big(\vec{X}(\vec{a},t),t\big) \bigg[ \frac{dX^l}{dq^i} \frac{dX^m}{dq^j} \frac{dX^n}{dq^k} \bigg]_{(\vec{a},t)} \bigg] = 0