Euler top - keisuke araki's project

Euler top

運動方程式の導出

$ \newcommand{\b}{\boldsymbol} \delta S = \int_0^1dt\, g_{ij} u^i ( \underbrace{ \dot\xi^j + C^j_{kl} \xi^k u^l}_{\dot{\b\xi} + [\b\xi,\b u] } ) $ = \int_0^1dt\, g_{ij} u^i ( \dot\xi^j + \underbrace{ D^{jm} \iota_{mkl} }_{ d \circ \iota + \iota \circ d } \xi^k u^l )

$ = (g_{ij} u^i \xi^j)\Big|_0^1- \int_0^1 dt\, g_{ij} \dot u^i \xi^j + \int_0^1 dt\, \underbrace{\omega^{m}}_{ D^{mj} g_{ji} u^i } \iota_{mkl} \xi^k u^l = (g_{ij} u^i \xi^j)\Big|_0^1 - \int_0^1 dt\, \xi^j ( g_{ij} \dot u^i - \iota_{jlm} u^l \omega^{m} )

$ \newcommand{\b}{\boldsymbol} = (\b \xi \cdot \b u) \Big|_0^1 -\int_0^1dt\ \b \xi \cdot (\dot{\underline{\b u}} - \b \omega \times \b u)

運動方程式：$ \left\{ \begin{array}{rcl} \dot U_1 = ( \Lambda_2 - \Lambda_3 ) U_2 U_3 \\ \dot U_2 = ( \Lambda_3 - \Lambda_1 ) U_3 U_1 \\ \dot U_3 = ( \Lambda_1 - \Lambda_2 ) U_1 U_2 \end{array} \right. $ \boldsymbol u = (U_1,U_2,U_3) $ \boldsymbol \omega = ( \Lambda_1 U_1, \Lambda_2 U_2, \Lambda_3 U_3 )

渦度／角運動量とエネルギー、ヘリシティ：$ \newcommand{\b}{\boldsymbol} \dot{\b u} \times \b u = \dot{\b u} \times (\b\omega \times \b u) = H \bm u - E \b \omega より$ \newcommand{\b}{\boldsymbol} \b \omega = \frac HE \bm u + \frac 1 E \b u \times \dot{\b u}

エネルギーとヘリシティの保存とモード間のエネルギー輸送：$ E_1 + E_2 + E_3 = E ,$ \Lambda_1 E_1 + \Lambda_2 E_2 + \Lambda_3 E_3 = H (ただし$ \Lambda_1 < \Lambda_2 < \Lambda_3 とする)は保存量である。ゆえに微小な変化量はトータルでゼロでないといけない：

(1)　　$ \delta E_1 + \delta E_2 + \delta E_3 = 0 ,$ \Lambda_1 \delta E_1 + \Lambda_2 \delta E_2 + \Lambda_3 \delta E_3 = 0

である。これを解いて：

(2)　　$ \frac{\delta E_1}{\Lambda_3 - \Lambda_2} = \frac{\delta E_2}{\Lambda_1 - \Lambda_3} = \frac{\delta E_3}{\Lambda_2 - \Lambda_1} $ \Longrightarrow $ \delta E_1 = \frac{\Lambda_3 - \Lambda_2}{\Lambda_1 - \Lambda_3} \delta E_2 ,$ \delta E_3 = \frac{\Lambda_2 - \Lambda_1}{\Lambda_1 - \Lambda_3} \delta E_2

すなわち$ \delta E_2 と$ \delta E_1, \delta E_3 は逆符号である。

解曲線の配置：$ U_1^2 + U_2^2 + U_3^2 = 1 ,$ \underbrace{\Lambda_1}_{=-2} U_1^2 + \underbrace{\Lambda_2}_{=-1} U_2^2 + \underbrace{\Lambda_3}_{=4} U_3^2 = H の等値面

https://scrapbox.io/files/623068204dd450002307fae4.jpg

青：$ H=-\frac{159}{83}; |U_1| \gg |U_2|,|U_3|, ,緑：$ -\frac{79}{83}; |U_2| \gg |U_1|,|U_3|, ,赤：$ \frac{321}{83}; |U_3| \gg |U_1|,|U_2|,

結局、第2軸が不安定平衡点であることは変わりがない。

$ U_1 または$ U_3 が優勢な場合、3波相互作用の結果は残り2個のモードが優勢軸の周りで周期運動しているようなものなので、$ U_1 または$ U_3 が優勢であることは時間的に変化しない。その一方で$ U_2 優勢とみなして作った等値面の作る軌道（セパラトリックスの近くにいる）を見ると、$ |U_1| \approx |U_3| \gg |U_2| となることもある（けれども第2軸近傍での滞在時間は長いので、止まってるっぽく見える）。

https://www.youtube.com/shorts/1n-HMSCDYtM

モード間のエネルギーのやり取り$ \delta E_2 \longleftrightarrow \delta E_1, \delta E_3 を評価したい：

$ \left\{ \begin{array}{rcl} \ddot U_1 = ( \Lambda_2 - \Lambda_3 ) (\dot U_2 U_3 + U_2 \dot U_3) = ( \Lambda_2 - \Lambda_3 ) (( \Lambda_3 - \Lambda_1 ) U_3 U_1 U_3 + U_2 ( \Lambda_1 - \Lambda_2 ) U_1 U_2) \\ \dot U_2 = ( \Lambda_3 - \Lambda_1 ) U_3 U_1 \\ \dot U_3 = ( \Lambda_1 - \Lambda_2 ) U_1 U_2 \end{array} \right.

$ |U_1 + \Delta t\, \dot U_1|^2 + |U_2 + \Delta t\,\dot U_2|^2 + |U_3 + \Delta t\,\dot U_3|^2

$ = |U_1|^2 + 2 U_1 \Delta t\, \dot U_1 + \Delta t^2 |\dot U_1|^2 + |U_2|^2 + 2 U_2 \Delta t\, \dot U_2 + \Delta t^2 |\dot U_3|^2 + 2 U_3 \Delta t\, \dot U_3 + \Delta t^2 |\dot U_3|^2

$ = |U_1|^2 + |U_2|^2 + |U_3|^2 + \Delta t^2 ( |\dot U_1|^2 + |\dot U_2|^2 + |\dot U_3|^2 )

↑エネルギー保存と首尾一貫してない、でもモード変化の速さを見ている

モード変化の速さ

$ |\dot U_1|^2 + |\dot U_2|^2 + |\dot U_3|^2 = ( \Lambda_1^2 |U_1|^2 + \Lambda_2^2 |U_2|^2 + \Lambda_3^2 |U_3|^2 )( |U_1|^2 + |U_2|^2 + |U_3|^2 ) - ( \Lambda_1 |U_1|^2 + \Lambda_2 |U_2|^2 + \Lambda_3 |U_3|^2 )^2

右辺は$ ( \Lambda_1 U_1, \Lambda_2 U_2, \Lambda_3 U_3 ) \approx C( U_1, U_2, U_3 ) のとき小さくなる

右辺で時間変化するのはエンストロフィ$ \Omega = \Lambda_1^2 |U_1|^2 + \Lambda_2^2 |U_2|^2 + \Lambda_3^2 |U_3|^2 だけ

ここでエンストロフィ$ \Omega = \Lambda_1^2 E_1 + \Lambda_2^2 E_2 + \Lambda_3^2 E_3 の増減を考える

$ \Omega + \delta \Omega = \Lambda_1^2 ( E_1 + \delta E_1 ) + \Lambda_2^2 ( E_2 + \delta E_2 ) + \Lambda_3^2 ( E_3 + \delta E_3 ) より

$ \delta \Omega = \Lambda_1^2 \delta E_1 + \Lambda_2^2 \delta E_2 + \Lambda_3^2 \delta E_3 = \Lambda_1^2 \frac{\Lambda_3 - \Lambda_2}{\Lambda_1 - \Lambda_3} \delta E_2 + \Lambda_2^2 \delta E_2 + \Lambda_3^2 \frac{\Lambda_2 - \Lambda_1}{\Lambda_1 - \Lambda_3} \delta E_2

$ = \frac{\Lambda_1^2 ( \Lambda_3 - \Lambda_2 ) + \Lambda_2^2 ( \Lambda_1 - \Lambda_3 ) + \Lambda_3^2 (\Lambda_2 - \Lambda_1)}{\Lambda_1 - \Lambda_3} \delta E_2 = \frac{( \Lambda_1 - \Lambda_3 )( \Lambda_1 -\Lambda_2 ) ( \Lambda_3 - \Lambda_2)}{\Lambda_1 - \Lambda_3} \delta E_2

$ = {( \Lambda_1 -\Lambda_2 ) ( \Lambda_3 - \Lambda_2)} \delta E_2 > 0, \ {\rm{if}}\ \delta E_2 < 0