2次方程式の解と係数の関係, 絶対値の不等式
(1)$ x^2-4x-2=0 より$ (x-2)^2=6 より$ a=2-\sqrt6 ,$ b=2+\sqrt6 (ここ解の公式でもいいけどwwwww)
(2)$ a+b=4 ,$ ab=-2 なので$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2(-2)=20 ,$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{20}{-2}=-10
(3)前半
$ \frac{b}{a}=\frac{2+\sqrt6}{2-\sqrt6}=\frac{2+\sqrt6}{2-\sqrt6}\frac{2+\sqrt6}{2+\sqrt6}=\frac{4+4\sqrt6+6}{4-6}=-5-2\sqrt6 より$ \left|\frac{b}{a}\right|=5+2\sqrt6
$ \frac{a}{b}=\frac{2-\sqrt6}{2+\sqrt6}=\frac{2-\sqrt6}{2+\sqrt6}\frac{2-\sqrt6}{2-\sqrt6}=\frac{4-4\sqrt6+6}{4-6}=-5+2\sqrt6 より$ \left|x-\frac{a}{b}\right|=\left|x-\left(-5+2\sqrt6\right)\right|
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$ y=\left|x-\left(-5+2\sqrt6\right)\right| と$ y=5+2\sqrt6 のグラフより$ \left|x-\left(-5+2\sqrt6\right)\right| \leqq 5+2\sqrt6 の解は$ \boxed{ -10 \leqq x \leqq 4\sqrt6}
(3)後半
そもそも$ k \leqq x \leqq k+3 は整数解を3個か4個持っているので「ちょうど2個」存在するためには①の区間の端っこで2個だけ被るようにセットするしかない。だから
区間の左端での整数解は$ x=-10 ,$ x=-9 なのでこれらが入って、$ x=-8 がはいらないためには$ -12 \leqq k < -11
区間の右端は$ x=4\sqrt6=\sqrt{96} なので整数解は$ x=8=\sqrt{64} ,$ x=9=\sqrt{81} なので、これらが入って$ x=7 が入らないためには$ 7<k\leqq8
まとめると$ \boxed{ -12 \leqq k < -11,\ 7 < k \leqq 8 }