総合課題⑦～⑨
問題⑦：一巡伝達関数が$ L(s) = \frac{k_p(s^2-s+1)}{s(s^2-3s+8)} なので、閉ループ伝達関数は$ G(s) = \frac{L(s)}{1+L(s)} $ = \frac{\displaystyle \frac{k_p(s^2-s+1)}{s(s^2-3s+8)}}{\displaystyle 1+\frac{k_p(s^2-s+1)}{s(s^2-3s+8)}} $ = \frac{ \displaystyle k_p(s^2-s+1) }{ \displaystyle s(s^2-3s+8) + k_p(s^2-s+1) } $ = \frac{ \displaystyle k_p(s^2-s+1) }{ \displaystyle s^3 + (k_p - 3) s^2 + (-k_p + 8) s + k_p } である。
よってこの系の特性方程式は$ s^3 + (k_p - 3) s^2 + (-k_p + 8) s + k_p = 0 である。系が安定となる条件は特性方程式のすべての根が負の実数部を持つことである。この条件をラウスの安定判別法を用いて求める。
まず特性方程式の係数がすべて正でなくてはならないので、$ k_p-3>0 , $ -k_p+8>0 ,$ k_p>0 でなくてはならない。これを解いて$ 3 < k_p < 8 …①となる。
次にラウス係数行列を調べる
$ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & -k_p+8 \\ s^2 & k_p-3 & k_p \\ s^1 & \displaystyle \frac{(k_p-3)(-k_p+8)-k_p}{k_p-3} & 0 \\ s^0 & \displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{(k_p-3)(-k_p+8)-k_p}{k_p-3} \times k_p - (k_p-3)\times 0 }{ \displaystyle\frac{(k_p-3)(-k_p+8)-k_p}{k_p-3} } = k_p \end{array}
この第1列目がすべて正でなくてはならないので、$ k_p-3 > 0 …②, $ \frac{(k_p-3)(-k_p+8)-k_p}{k_p-3} > 0 …③; ここで②より分母は正なので$ (k_p-3)(-k_p+8)-k_p > 0 …③'であればよい。$ k_p>0 …④;
③'を解いて$ -k_p^2+10k_p-24>0 $ \Longleftrightarrow $ (k_p-4)(k_p-6)<0 $ \Longrightarrow $ 4<k_p<6 …③''
以上の①②③''④の条件をひとつにまとめて、閉ループ系の安定条件は$ 4<k_p<6 である。
問題⑧： $ k_p=1 のときの一巡伝達関数の周波数応答は$ L(j\omega) = \frac{-\omega^2 - j\omega +1}{j\omega (-\omega^2-3j\omega+8)} $ = \frac{ \sqrt{(1-\omega^2)^2+(-\omega)^2} \exp(j\arctan\displaystyle\frac{-\omega}{1-\omega^2}) }{\omega\exp(\displaystyle j\frac{\pi}{2}) \sqrt{(8-\omega^2)^2+(-3\omega)^2} \exp(j\arctan\displaystyle\frac{-3\omega}{8-\omega^2}) } $ = \frac{ \sqrt{(1-\omega^2)^2+(-\omega)^2} }{\omega\sqrt{(8-\omega^2)^2+(-3\omega)^2} } \exp(j\arctan\displaystyle\frac{-\omega}{1-\omega^2}) \exp(\displaystyle -j\frac{\pi}{2}) \exp(-j\arctan\displaystyle\frac{-3\omega}{8-\omega^2}) なので$ |L(j\omega)| = \frac{ \sqrt{(1-\omega^2)^2+(-\omega)^2} }{\omega\sqrt{(8-\omega^2)^2+(-3\omega)^2} } , $ \angle L(j\omega) = \arctan\frac{-\omega}{1-\omega^2} - \frac{\pi}{2} - \arctan\displaystyle\frac{-3\omega}{8-\omega^2}
問題⑨：ゲイン余裕を求めるために、位相$ \angle L(j\omega) が$ -180 degになる周波数$ \omega を求める。グラフより交点は$ \omega=1.41421 rad/s, $ \omega = 2 rad/sの2点がある。このときのゲインはそれぞれ$ 20\log |L(\sqrt2j)|=-15.56303 ,$ 20\log |L(2j)|=-12.0412 である。よってより安定性が悪い$ \omega=2 rad/sのときにゲイン余裕が20dBとなるような$ k_p を求める。
$ 20\log|L(2j)| = 20\log\frac{ k_p\sqrt{(1-2^2)^2+(-2)^2} }{2\sqrt{(8-2^2)^2+(-3\times2)^2} } = -20 を解いて$ k_p = 0.4 この$ k_p に対し、ゲインが1となる周波数は$ 20\log|L(j\omega)| = 20\log\frac{ 0.4\sqrt{(1-\omega^2)^2+(-\omega)^2} }{\omega\sqrt{(8-\omega^2)^2+(-3\omega)^2} } = 0 をボード線図より求めて$ \omega = 0.049945 rad/sである。ボード線図 このときの位相はボード線図より$ \angle L(0.049945j) = -91.79308 degである。よって位相余裕は$ 180 deg$ - 91.79308 deg$ = 88.20692 deg$ \approx 88.21 degである。