総合課題⑤
閉ループ伝達関数が$ G(s) = \frac{78s+180}{24s^3+92s^2+198s+180} なので、単位ステップ応答($ y(t) とする)のラプラス変換は$ Y(s)=\frac{G(s)}{s} = \frac{78s+180}{s(24s^3+92s^2+198s+180)} となる。$ Y(s) の極を調べると$ s=0 ,$ s=-1.60473 ,$ s=-1.1143-1.85257j ,$ s=-1.1143+1.85257j の4点でそれぞれ1位の極となっている。
ここで$ Y(s) を部分分数分解すると$ Y(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1.60473} +\frac{C}{s+1.1143+1.85257j} + \frac{D}{s+1.1143-1.85257j} となる。ここでそれぞれが1位の極なので、$ A, B, C, D は$ Y(s) のそれぞれの極での留数である。これをWolfram Alpha を使って解いて、$ Y(s) に代入すると、$ Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{-0.38766}{s+1.60473} +\frac{-0.30617-0.352057j}{s+1.1143+1.85257j} + \frac{-0.30617+0.352057j}{s+1.1143-1.85257j} となる。これを初期条件$ y(0)=y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=0 として逆ラプラス変換して、求めるステップ応答は$ y(t) = 1 - 0.38766 e^{-1.60473t} + (-0.30617-0.352057j) e^{(-1.1143-1.85257j)t} + (-0.30617+0.352057j) e^{(-1.1143+1.85257j)t} $ = 1 - 0.38766 e^{-1.60473t} + e^{ - 1.1143 t} \Big[ (-0.30617-0.352057j) e^{-1.85257tj} + (-0.30617+0.352057j) e^{1.85257tj} \Big] $ = 1 - 0.38766 e^{-1.60473t} + e^{ - 1.1143 t} \Big[ -0.30617 ( e^{ -1.85257 t j} + e^{1.85257 t j } ) + 0.352057 j ( e^{1.85257tj} - e^{ -1.85257 t j} ) \Big]
$ = 1 - 0.38766 e^{-1.60473t} + e^{ - 1.1143 t} \Big[ -0.30617 \times 2 \cos(1.85257 t) + 0.352057 j \times 2 j \sin(1.85257t) \Big]
$ = 1 - 0.38766 e^{-1.60473t} - e^{ - 1.1143 t} \Big[ 0.61234 \cos(1.85257 t) + 0.704114 \sin(1.85257t) \Big]
よって小数点以下4桁で表すと$ y(t) = 1 - 0.3877 e^{-1.6047t} - e^{- 1.1143 t} \Big[ 0.6123 \cos(1.8526 t) + 0.7041 \sin(1.8526t) \Big]