総合課題②ゲイン余裕について
一巡伝達関数が$ L(s) = \frac{78s+180}{4s(6s^2+23s+30)} で与えられるシステムを考える。
周波数応答は$ L(j\omega) = \frac{78j\omega+180}{4j\omega(-6\omega^2+23j\omega+30)} $ = \frac{ \sqrt{180^2 + (78\omega)^2} \exp( j\arctan\displaystyle\frac{78\omega}{180} ) }{ 4\omega \exp( \displaystyle\frac{\pi}{2}j ) \sqrt{(30-6\omega^2)^2+(23\omega)^2} \exp( j\arctan\displaystyle\frac{23\omega}{30-6\omega^2} ) }
よって絶対値は$ |L(j\omega)|= \frac{ \sqrt{180^2 + (78\omega)^2} }{ 4\omega \sqrt{(30-6\omega^2)^2+(23\omega)^2 } }
位相は$ \angle L(j\omega) = \arctan( \displaystyle\frac{78\omega}{180} ) - \frac{\pi}{2} - \arctan (\frac{23\omega}{30-6\omega^2})
ここで$ \frac{d}{d\omega}\angle L(j\omega) = - \frac{6(1547x^4+29150x^2+45000)}{(169x^2+900)(36x^4+169x^2+900)} < 0 より位相は$ \omega の単調減少関数。
よって位相が$ -\pi radになるとすれば、その$ \omega は1個しかない。
ここで複素数$ 78j\omega+180 は第1象限にあり$ \omega \to + \infty で虚軸の正の部分に実数部分が正の側から近づく。よって$ \lim_{\omega\to\infty} = \arctan( \displaystyle\frac{78\omega}{180} ) = \frac{\pi}{2}
複素数$ (30-6\omega^2) +23j\omega は$ \omega が十分に大きいとき第3象限にあり$ \omega \to + \infty で実軸の負の部分に虚数部分が正の側から近づく。よって$ \lim_{\omega\to\infty} = \arctan( \frac{23\omega}{30-6\omega^2} ) = + \pi
以上より$ \lim_{\omega\to+\infty} \left[ \arctan( \displaystyle\frac{78\omega}{180} ) - \frac{\pi}{2} - \arctan (\frac{23\omega}{30-6\omega^2}) \right] = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - \pi = - \pi である。
以上の考察より$ \angle L(j\omega) = - \pi となる$ \omega は無い。