指数法則から底の変換を導き出せるのか?
The Antilogarithm (or power) is the Base to the eXponent: $ A = B^X or equivalently $ X = \log_B A ;
指数法則:$ f(x+y)=f(x)f(y) ;底:$ f(1)=a .
$ g(x+y)=g(x)g(y) ,$ g(1)=b
$ f(x+0)=f(x)f(0) より$ f(0)=1
$ a=f(1)=\left[ f(\frac1N) \right]^N が任意の$ N \in \mathbb{N} で成り立たねばならないので$ f(x) > 0 .
$ f(a-a)=f(a)f(-a) より$ f(-a)=1/f(a)
$ b=\left[ f(\frac1N) \right]^M=\left[ f(\frac xM) \right]^M where$ x=\frac MN
$ \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}
抽象的にやると底の変換がうまく表現できない
$ f(a)+f(b)=\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h} + \lim_{h\to0}\frac{b^h-1}{h} = \cdots = \lim_{h\to0}\frac{(ab)^h-1}{h} = f(ab)
$ f'=f ならば$ f(x+y)=f(x)f(y) を示せ
$ (1+\frac{1}{1000})^{N}=\left(1+\frac{N}{1000}\frac{1}{N}\right)^{N}=
$ a^x = b^y より$ \log_ba^x = \log_bb^y $ x \log_ba = y $ a^x = (b^{\log_ba})^x
$ \begin{array}{rlrl} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = & 1 & + r + r\cdot r + \cdots + \overbrace{(r\cdots r)}^{(n-1)個} & \\ \displaystyle r\times\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = & & r + r\cdot r + \cdots + \overbrace{(r\cdots r)}^{(n-1)個} & + \overbrace{(r\cdots r)}^{n個} \\\hline \displaystyle (1-r)\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = & 1 & & -\overbrace{(r\cdots r)}^{n個} \end{array}
$ \begin{array}{rrrrll} S & = & 1 & +3 & +3^2 & +3^3 \\ -)\ \ \ \ 3S & = & & 3 & +3^2 & +3^3 \\\hline (1-3)S & = & 1 & +0 & +0 & +0 \end{array}