多項式の解とHurwitz-Routhテスト
REF: Gjerrit Meinsma, "Elementary proof of the Routh-Hurwitz test", Systems & Control Letters, Volume 25, Issue 4, 1 July 1995, Pages 237-242; $ p(s) = p_0 s^n + p_1 s^{n-1} + p_2 s^{n-2} + \cdots + p_{n-2} s^2 + p_{n-1} s^1 + p_{n} s^0 = \underbrace{p_{\rm even}(s)}_{偶数次} + \underbrace{p_{\rm odd}(s)}_{奇数次}
ここで虚数単位$ j , $ \omega \in \mathbb{R} に対し$ p(j\omega) = \underbrace{p_{\rm even}(j\omega)}_{実数} + \underbrace{p_{\rm odd}(j\omega)}_{純虚数} なので、$ p(j\omega) = 0 ならば$ p_{even}(j\omega) = 0 , $ p_{odd}(j\omega) = 0 である。
このとき剰余の定理より$ p_{\rm even}(s) = (s-j\omega)^k r_R(s) , $ p_{\rm odd}(s) = (s-j\omega)^k r_I(s) となる(解の重複度を$ k とした)。
このことより$ p(s) = (s-j\omega)^k r(s) ならば、$ q(j\omega) := \alpha p_{\rm even}(j\omega) + \beta p_{\rm odd}(j\omega) = (s-j\omega)^k [\alpha r_R(s) + \beta r_I(s)] , すなわち同じ純虚数の解を同じ重複度で持つ。
ここから$ (\alpha,\beta)=(1,1) からパラメーターを変化させたとき、純虚数の解の個数は変化しない。すなわち複素数解はこの連続的な変換で虚数軸と交差することはない。
$ n 次多項式$ P_n(x) = p_0 x^n + p_1 x^{n-1} + \cdots に$ n+1 次の項$ \epsilon x^{n+1} ($ \epsilon \ll 1 )を加えた多項式=0:$ P_n(x) - \epsilon x^{n+1} = 0 の解の一つ$ x=\alpha は$ p_0 \alpha^n - \epsilon \alpha^{n+1} \approx 0 より$ \alpha \approx p_0 / \epsilon \gg 1 ($ p_j \approx O(1) なら$ \frac{p_1 \alpha^{n-1} + \cdots }{p_0 \alpha^n} \approx O(\epsilon) である)