因数分解
$ x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)
うーむ、まず$ x=y の時を考える(なんとなくゼロになりそうな気がする)
$ x^3(x-z)+x^3(z-x)+z^3(x-x) = x^4 - x^3z + x^3z -x^4 +z^3\times0 = 0 …ほらねー
だから必ず$ (x-y)(ややこしい式) と因数分解できる。(これを「因数定理」とゆー)
$ \underbrace{x^3y}_{[A]}\underbrace{-x^3z}_{[B]}\underbrace{+y^3z}_{[C]}\underbrace{-y^3x}_{[D]}+z^3(x-y)
$ = \underbrace{(x^2-y^2)xy}_{[A,D]}\underbrace{-(x^3-y^3)z}_{[B,C]}+z^3(x-y)
$ = \underbrace{(x-y)(x+y)xy}_{[A,D]}\underbrace{-(x-y)(x^2+xy+y^2)z}_{[B,C]}+z^3(x-y)
$ = (x-y)\Big[\underbrace{(x+y)xy}_{[A,D]}\underbrace{-(x^2+xy+y^2)z}_{[B,C]}+z^3 \Big]
$ = (x-y)\Big[\underbrace{x^2y}_{[E]}\underbrace{+xy^2}_{[F]}\underbrace{-x^2z}_{[E]}\underbrace{-xyz}_{[F]}\underbrace{-y^2z}_{[G]}\underbrace{+z^3}_{[G]} \Big] …ほらね~、くくれたっしょ~
つぎに元の式は$ x\to y\to z\to x と文字をずらしても、式が同じになってしまう。(これを「対称性がある」ってゆー)
だから$ (x-y) で括れるなら$ (y-z) , $ (z-x) もあるんじゃね?
$ = (x-y)\Big[\underbrace{x^2(y-z)}_{[E]}\underbrace{+xy(y-z)}_{[F]}\underbrace{-(y^2-z^2)z}_{[G]} \Big]
$ = (x-y)\Big[x^2(y-z)+xy(y-z)-(y-z)(y+z)z \Big]
$ = (x-y)(y-z)\Big[x^2+xy-(y+z)z \Big] …ほらねー$ (y-z) でくくれた(残るは$ (z-x) だねー)
$ = (x-y)(y-z)\Big[x^2+xy-yz-z^2 \Big]
$ = (x-y)(y-z)\Big[x^2-z^2+xy-yz \Big]
$ = (x-y)(y-z)\Big[(x-z)(x+z)+(x-z)y \Big]
$ = (x-y)(y-z)(x-z)\Big[(x+z)+y \Big]
$ = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)