円に内接する正N角形の周長はN→∞で2πRに収束する
($ N=3\times2^k where$ k=1,2,3,... , 正6角形から, 12, 24, ... と角を2分割していく)
まず
半径$ R の円に内接する正$ \!\! N \!\! 角形の周長$ l_N := 2 N R \sin\frac{\pi}{N} は$ N の単調増加列である。
($ \because 2NR\sin\frac{\pi}{N} = 4NR\sin\frac{\pi}{2N}\cos\frac{\pi}{2N} < 4NR\sin\frac{\pi}{2N} )
2点を結ぶ最短距離は線分だから、円周より内接正$ \!\! N \!\! 角形の周長が短い:$ l_N < 2 \pi R .
だから単調収束定理より$ \lim_{N\to\infty}l_N は収束する。有界単調性だけでは極限が$ 2 \pi R とはまだ言えない。 内接する正$ \!\! N \!\! 角形は領域$ T:=\left\{r: r \in \left[R\cos\frac{\pi}{N}, R\right] \right\} にいる。
$ N\to\infty で領域$ T が半径$ R の円に収束するので、周長の極限値は
$ \lim_{N\to\infty} 2 N R \sin\frac{\pi}{N} = 2 \pi R \lim_{N\to\infty}\cos\frac{\pi}{N} = 2 \pi R
後半部分だけでは「極限値があるとすれば$ 2\pi R が唯一の候補」までしか言えない。
したがって$ \lim_{N\to\infty} \frac{N}{\pi} \sin\frac{\pi}{N} = 1
結局、これも「弧長」の積分
円に内接、外接する正N角形の周長はN→∞で同じ値に収束する
($ N=3\times2^k where$ k=1,2,3,... , 正6角形から, 12, 24, ... と角を2分割していく)
まず
半径$ R の円に内接する正$ \!\! N \!\! 角形の周長$ l_N := 2 N R \sin\frac{\pi}{N} は$ N の単調増加列である。
2点を結ぶ最短距離は線分だから、円周より内接正$ \!\! N \!\! 角形の周長が短い:$ l_N < 2 \pi R .
だから単調収束定理より$ \lim_{N\to\infty}l_N は収束する。 一方、
半径$ R の円に外接する正$ \!\! N \!\! 角形の周長$ L_N := 2 N R \tan\frac{\pi}{N} は$ N の単調減少列である。
$ l_N < L_N , すなわち下に有界なので$ \lim_{N\to\infty} L_N は収束する。
ここで$ \lim_{N\to\infty}L_N = \lim_{N\to\infty} 2 N R \tan\frac{\pi}{N} = \frac{ \displaystyle \lim_{N\to\infty} 2 N R \sin\frac{\pi}{N} }{ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \cos\frac{\pi}{N} } = \frac{ \displaystyle \lim_{N\to\infty} l_N }{ 1 } なので同じ値に収束している。
円はこれら内外接する正$ \!\! N \!\! 角形に囲まれた領域$ D \subset T:=\{r: r \in [R\cos\frac{\pi}{N}, \frac{R}{\cos\frac{\pi}{N}}] \} にいるので、
$ N\to\infty で領域$ T が半径$ R の円に収束するので、周長の極限値は
$ \lim_{N\to\infty} 2 N R \tan\frac{\pi}{N} = \lim_{N\to\infty} 2 N R \sin\frac{\pi}{N} = 2 \pi R = 2 \pi R \lim_{N\to\infty}\cos\frac{\pi}{N} = 2 \pi R \lim_{N\to\infty}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{N}}
したがって$ \lim_{N\to\infty} \frac{N}{\pi} \tan\frac{\pi}{N} = \lim_{N\to\infty} \frac{N}{\pi} \sin\frac{\pi}{N} = 1