座標変換と三次元空間のポリゴン(Rust製ラスタライザ)

from 点を描くところから始めるRust製ソフトウェアラスタライザ

点を描くところから始めるRust製ソフトウェアラスタライザ::三次元空間にあるポリゴンを描画する

4x4行列演算とアフィン変換の定義(Rust製ラスタライザ)で、アフィン変換を実装できたので、カメラを実装していく。

ただし、ここら辺はバグらせやすい要因になるので段階的に開発したいappbird.icon

Ray Tracing in One Weekendの作法に則っている

参考資料

床井先生のこちらの資料を参考にさせていただく...

特に、p.114以降 (pdfビューア上ではp.122以降)

p.153

用語などはこちらの資料を参考にする。

WJ.icon まず、(0, 0, 0)から(0, 0, 1)の方向を向いて、(0, 1, 0)を上とするカメラを作る。

点群を正しく変換するジオメトリパイプライン (Geometry Pipeline)の実装が必要

モデルの頂点座標とモデルの座標・角度を持つActorを定義する

モデル（三角ポリゴン）の中心座標$ \bm p

回転（回転軸と角度$ \bm \theta）

自身のモデル変換行列を返す

回転$ \bm\thetaを行った$ R後、$ \bm pだけ並行移動する$ T

行列$ TRを求めれば良い

2. ビュー変換

今は単位行列としてよい

3. 透視変換

資料のPDFとしてはビューア表示においてp.161ぐらいappbird.icon

直交投影ではなく、透視投影を行う。

farを0.1 m, nearを100 mとして投影する。

視錐体

標準視体積に見える範囲の物体を持ってくるappbird.icon

せん断変形 --> 今回は視錐体はビュー変換された地点で直線$ (x, y) = (0, 0)を通っているものと仮定する

ので、ここは単位行列でよい

同時座標系での透視変換を考える

画像乾板に映る像の大きさを考えることになる。

これは、幾何学的に相似を考えればすぐに求められる。

https://scrapbox.io/files/66faa3b9c371ca001ccd9eab.png

$ zで割る分に関しては、同次座標系の$ wへ$ z値を載せればいい

さらに、画像乾板の端っこにあたる座標値は$ -1, 1に正規化しておきたいので

画像乾板の幅$ Wと高さ$ Hで割っておく。

ということで、求める行列は、$ z座標ぶんを除いてここまでわかる。

code:tex

\begin{pmatrix}

x' \\ y' \\ z' \\ w'

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

near/W & 0 & 0 & 0 \\

0 & near/H & 0 & 0 \\

* & * & * & * \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z \\ w

\end{pmatrix}

透視深度

透視投影後の像の深度（カメラに対して、物体がどれぐらいの奥行き方向の距離に存在するか）のことを透視深度という

透視投影では、投影像の大きさが深度 (z 値) に反比例します。透視投影後の深度にも、元の深度の逆数を用います。

この深度は$ \lbrack -1, 1\rbrackの実数で表される。

https://scrapbox.io/files/66faa3f0bbbd59001dde1f67.png

要件

1. 前方面のz値（$ z = N）が-1、後方面のz値（$ z = F）が1になってほしい

2. $ zに反比例してほしい。

これはなぜ？appbird.icon

透視投影後の位置の精度は前方面に近いほど高く、前方面から離れるほど低くなります。このような深度を透視深度といいます。

なるほど、前方面まわりの深度の精度を確保したいからか

$ f(z) = \frac{C_1}{z} + C_2という関数の形を仮定して、このような関数を探してみる。

$ -1 = \frac{C_1}{N} + C_2, $ 1 = \frac{C_1}{F} + C_2

$ -N = C_1 + C_2N, $ F = C_1 + C_2F

$ -N - F = (N - F) C_2

$ \frac{F + N}{F - N} = C_2

$ -1 - \frac{ F + N }{ F - N } = \frac{C_1}{N}

$ - \frac{ F + N + F - N }{ F - N } = \frac{C_1}{N}

$ - \frac{ 2F }{ F - N } = \frac{C_1}{N}

$ - \frac{ 2FN }{ F - N } = C_1

従って、

$ f(z) = \left( -\frac{FN}{z} + \frac{F + N}{2}\right) \frac{2}{F - N}

同時座標系の$ w値に$ z値が乗ってるので、それに合わせると

$ zf(z) = \left( -FN + \frac{F + N}{2} z\right) \frac{2}{F - N}

ということで、正規化まで含めて求める行列はこうなる。

code:tex

\begin{pmatrix}

x' \\ y' \\ z' \\ w'

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

N/W & 0 & 0 & 0 \\

0 & N/H & 0 & 0 \\

0 & 0 & \frac{F + N}{F - N} & -\frac{2FN}{F-N} \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z \\ w

\end{pmatrix}

ふつう、$ wは$ 1であることに注意したいappbird.icon

実装

モデルからモデル変換行列を提供する

code:rs

pub struct Actor {

pub vertices:Vec4; 3,

position:Vec4,

axis:Vec4,

theta:f64,

}

impl Actor {

fn model_conversion(&self) -> Mat4x4 {

Mat4x4::translate(&self.position)

* Mat4x4::rotation(&self.axis, self.theta)

}

カメラから透視変換行列を提供する

code:rs

pub fn view_conversion(&self) -> Mat4x4 {

let n = self.near;

let f = self.far;

let w = self.width;

let h = self.height;

Mat4x4::from_array([

n / w, 0., 0., 0. ,

0., n / h, 0., 0. ,

0., 0., (f+n)/(f-n), -2.*(f*n)/(f - n),

0., 0., 1., 0. ,

])

}

Actorの頂点をモデル変換行列・透視変換行列に通す。

code:rs

pub fn shot(&mut self, canvas:&mut Canvas, actors:Vec<Actor>) {

let perspective = self.view_conversion();

let view = Mat4x4::identity();

let pv = perspective*view;

for actor in actors {

let model = actor.model_conversion();

let pvm = &pv * &model;

let projected:Vec4Project; 3 = [

Vec4Project(&pvm * &actor.vertices0),

Vec4Project(&pvm * &actor.vertices1),

Vec4Project(&pvm * &actor.vertices2),

];

self.draw_triangle(canvas, &projected0, &projected1, &projected2, &actor.color);

}

テストappbird.icon

こんな感じの空間を撮ってみる

データ作成にはを使用

https://scrapbox.io/files/66fa0189b60f26001dc50d77.png

https://scrapbox.io/files/66fa0170bdf41c001c3cdcde.png

code:rs

let triangles = [

Vec4::new3d(0., 0., 0.), Vec4::new3d(3., 1., 2.)/5, Vec4::new3d(0., -3., 4.)/5,

Vec4::new3d(0., 4., -5.)/5, Vec4::new3d(-3., -1., -2.)/5, Vec4::new3d(0., 3., 4.)/5,

];

let blue = Vec4::new3d(0.2, 0.2, 0.9);

let green = Vec4::new3d(0.2, 0.9, 0.2);

WJ.icon $ \bm pから$ \bm Lの方向を向いて、$ \bm uを上とするカメラを作る。

テスト

$ \bm pを$ (\cos(2\pi t/5), \sin(2\pi t/5), 0)とする。

$ \bm pを$ (0, 0, \sin(2\pi t/5))とする。

遠近感が出ると良い

$ \bm Lを$ (\sin(2\pi t/5), 0, \cos(2\pi t/5))とする。

くるくるしてると良い

$ \bm uを$ (\cos(2\pi t/5), \sin(2\pi t/5), 0)とする。

画面がぐるぐるしていると良い