コード理論....を数学で厳密に定義できないか

コード理論....を数学として扱ってどういうものが見えるのか

気になったので少しやってみた

しかし、調べてみたところやはり大量の先行事例があったので、ちゃんと音楽理論を学んできてからもう一回戻ってきたい

良く使う定数の定義

ここでは、便宜上音(周波数$ a)にたいして、音の高さを値$ 12\log_2aと定義する。

単に音といった場合、その音の高さのことを指すことがある。

基準ラ$ a_s := 12 \cdot \log_2{440} = 105.37631\cdotsとする

$ 440 (Hz)の音(音名A)の音の高さ

また、基準ド$ c_s := 3 + a_s = 108.37631\cdotsとする。

二つの音(高さ$ s,t)に対して、$ t-sが12の倍数のとき、その二つの音の音名は同等であり、ここではそれを音名同等と便宜的に呼ぶ。

音(高さ$ s)に対して、全ての音名同等な音の高さを含んだ集合$ \Sigma(s)を定義する

厳密には$ \Sigma(s) := \{\space x \space | \space x + 12n > 0 \space (\exists n \in \mathbb{Z} )\}

度数

自然数$ n:= \lfloor \frac{b-a}{2} \rfloorを考える

このとき、音$ aと音$ bには$ n+1度があると定義する。

同じ度数であっても、半音と全音の区別がある。

$ b-aが偶数のとき、全音の音程がある

奇数のとき、半音の音程があるとする。

インターバールとスケール

ある12音の音の高さ$ a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{12}を考える。ただし以下の条件を満たす。

$ a_1< a_2< a_3< \cdots< a_{12}

$ a_{12} - a_1 = 12である。

これらの間にどのような音程を定めることで、どのような音の並びができるかをここでは見る。

12音の間に定まった音程の列のことをインターバルといい、そのインターバルに沿ってできた音の並びをスケールという。

ここでは、その

全全半全全全半という音程がそれぞれの音の間に存在している場合

$ 2,2,1,2,2,2,1を周期的に繰り返す数列$ I_nを考える。