テンパズルに解があることの証明

code:プロンプト

@Devin 4つの異なる数字と四則演算で必ず10が作れることを証明できますか？ e.g. 1+2+3+4 = 10, ((5+7-2)*1 = 10

https://gyazo.com/f87b33baab89bd037dcbd06b241b1a93

4つの異なる数字と四則演算で必ず10が作れるかどうかの証明結果

結論

4つの異なる数字と四則演算で必ずしも10が作れるわけではありません。

検証方法

1から13までの数字から4つを選ぶすべての組み合わせについて、四則演算（+, -, *, /）と様々な括弧の配置を試しました。

反例

73個の反例が見つかりました。以下はその一部です：

(1, 2, 7, 10)

(1, 2, 10, 13)

(1, 3, 8, 10)

(1, 3, 9, 10)

(1, 3, 10, 11)

(1, 3, 10, 12)

(1, 3, 11, 13)

(1, 4, 5, 13)

(1, 4, 7, 10)

(1, 4, 9, 10)

これらの数字の組み合わせでは、どのような四則演算と括弧の配置を使っても10を作ることができません。

ユーザーが提示した例について

ご提示いただいた例「1+2+3+4 = 10」と「((5+7-2)*1 = 10」は確かに10になります。しかし、すべての4つの異なる数字の組み合わせで10が作れるわけではないことが証明されました。

数学的考察

この問題は、与えられた数字の集合に対して、四則演算と括弧の配置を適切に選ぶことで特定の値（この場合は10）を作れるかという問題です。プログラムによる網羅的な検証の結果、一部の数字の組み合わせでは10を作ることができないことが分かりました。

したがって、「4つの異なる数字と四則演算で必ず10が作れる」という命題は偽です。

1から9までの数字に限定した場合の検証結果

結論

1から9までの数字に限定した場合、すべての4つの異なる数字の組み合わせで四則演算を使って10を作ることができます。

検証方法

1から9までの数字から4つを選ぶすべての組み合わせ（126通り）について、四則演算（+, -, *, /）と様々な括弧の配置を試しました。

結果

すべての組み合わせ（126通り）で10を作ることができました。反例は見つかりませんでした。

具体例

いくつかの例を示します：

(1, 2, 3, 4) → ((1 + 2) + 3) + 4 = 10

(1, 2, 3, 5) → ((1 - 2) + 3) * 5 = 10

(1, 2, 3, 6) → (1 + (2 / 3)) * 6 = 10

(1, 2, 3, 7) → (1 - 3) * (2 - 7) = 10

(1, 2, 3, 8) → ((1 - 2) + 3) + 8 = 10

数学的考察

1から9までの数字に限定した場合、四則演算と括弧の配置を適切に選ぶことで、どの4つの数字の組み合わせでも10を作ることができることが証明されました。

したがって、「1から9までの数字から選んだ4つの異なる数字と四則演算で必ず10が作れる」という命題は真です。

code:Devinが書いたコード.py

"""

4つの異なる数字と四則演算で必ず10が作れることを証明するプログラム

このプログラムでは、1から13までの数字から4つを選び、

それらの数字と四則演算（+, -, *, /）を使って10を作れるかどうかを検証します。

"""

import itertools

import operator

from fractions import Fraction

# 演算子の定義

ops = {

'+': operator.add,

'-': operator.sub,

'*': operator.mul,

'/': lambda x, y: Fraction(x, y) if y != 0 else None

}

# 括弧の配置パターンと演算子の組み合わせを試す関数

def try_all_operations(numbers):

# 数字の順列を生成

for nums in itertools.permutations(numbers):

a, b, c, d = nums

# 演算子の組み合わせを生成

for op1 in ops:

for op2 in ops:

for op3 in ops:

# パターン1: ((a op1 b) op2 c) op3 d

try:

if result1 == 10:

return True, f"(({a} {op1} {b}) {op2} {c}) {op3} {d} = 10"

except:

pass

# パターン2: (a op1 b) op2 (c op3 d)

try:

if result2 == 10:

return True, f"({a} {op1} {b}) {op2} ({c} {op3} {d}) = 10"

except:

pass

# パターン3: a op1 ((b op2 c) op3 d)

try:

if result3 == 10:

return True, f"{a} {op1} (({b} {op2} {c}) {op3} {d}) = 10"

except:

pass

# パターン4: a op1 (b op2 (c op3 d))

try:

if result4 == 10:

return True, f"{a} {op1} ({b} {op2} ({c} {op3} {d})) = 10"

except:

pass

# パターン5: (a op1 (b op2 c)) op3 d

try:

if result5 == 10:

return True, f"({a} {op1} ({b} {op2} {c})) {op3} {d} = 10"

except:

pass

return False, "10を作ることができませんでした"

def main():

# 反例を見つけるために、1から13までの数字から4つを選ぶすべての組み合わせを試す

counter_examples = []

for numbers in itertools.combinations(range(1, 14), 4):

can_make_10, expression = try_all_operations(numbers)

if not can_make_10:

counter_examples.append(numbers)

if counter_examples:

print(f"反例が見つかりました: {len(counter_examples)}個")

print("以下の数字の組み合わせでは10を作ることができません:")

print(example)

if len(counter_examples) > 10:

print(f"...他 {len(counter_examples) - 10}個")

else:

print("すべての4つの異なる数字の組み合わせで10を作ることができました！")

print("よって、4つの異なる数字と四則演算で必ず10が作れることが証明されました。")

if __name__ == "__main__":

main()