1. 講義全体の概要
2020/4/15（月） 応用数学1
担当教員：伊達 章 （だて あきら） A-333
date@cs.miyazaki-u.ac.jp
成績の評価方法：（昨年まで．本年度は未定）
期末試験 $ 70\%，小テスト・レポート $ 30\%
教科書：
常微分方程式 (理工系の数学入門コース 4) 矢嶋信男 著（岩波書店） https://www.iwanami.co.jp//images/book/482319.jpg
素晴らしい日本語
要点がコンパクトに説明されている．
演習書：（必要であれば）
弱点克服大学生の複素関数／微分方程式， 江川博康 著 （東京図書）
予備校の先生が書いた本
シラバス（成績の評価方法，教科書など） 学び方（解ける，よりは，わかるのが大事） 高校数学＋線形代数がわかっていないと単位の修得は難しい．
「常微分方程式」はじめに
微分方程式と自然科学の深いつながり
微分方程式：言葉の役割を果たしている
科学の目標：「法則を知り，未来を予知する」
自然科学の法則（の大部分）
微分方程式で記述されている
$ \Longrightarrow 予知や予言：微分方程式を解く
講義のスケジュール（案）
1. 講義全体の概要
2. 自然法則と微分方程式 1
3. 自然法則と微分方程式 2
4. 微分方程式の初等解法 1
5. 微分方程式の初等解法 2
6. 微分方程式の初等解法 3
7. 定数係数の2階線形微分方程式1
8. 演習 （数値的に微分方程式を解く）
9. 定数係数の2階線形微分方程式2
10. 高階線形微分方程式 1
11. 高階線形微分方程式 2
12. 微分方程式と相空間--力学系の理論 1
13. 微分方程式と相空間--力学系の理論 2
14. まとめ
15. 定期試験
16. 解説
微分方程式とは
（普通の）方程式}
$ 3x -12 = 0
問題： 「未知数 $ x を含む等式」
$ \Longrightarrow $ x の値を求める．
答：$ x=4
微分方程式
$ \frac{d}{dt} x(t) = 12 - 3 x(t), $ x(0)=9
$ x = x(t) （$ x が $ t の関数であること）が自明であるので，以下のように書く．
$ \frac{dx}{dt} = 12 - 3 x
問題： 「未知関数 $ x(t) とその微分 $ \frac{d}{dt} x(t) を含む等式」
$ \Longrightarrow 関数 $ x(t) を求める．
答 ：$ x(t) = 5 {\rm e}^{-3t} + 4
本当に解になっているか？ 確かめてみる．
$ x(t) = 5 {\rm e}^{-3t} + 4 .
$ \frac{dx}{dt} = 12 - 3 x ．
左辺＝
右辺＝
本当に解になっているか？ 確かめてみる．
$ x(t) = 5 {\rm e}^{-3t} + 4 .
$ \frac{dx}{dt} = 12 - 3 x ．
左辺＝$ \frac{d}{dt} x(t) \hspace*{10mm} \Longrightarrow -15 {\rm e}^{-3t}
右辺＝ $ 12 - 3 x(t) \hspace*{10mm} \Longrightarrow 12 - 3 (5 {\rm e}^{-3t} + 4 ) =
初期条件
$ x(0) = 9 ？
微分方程式とは
$ \frac{dx}{dt} = -x
これ ↑ は，$ \frac{d}{dt}x(t) = -x(t) の略
微分を含んだ方程式．目的は，この式を満たす関数 $ x(t) を求めること．
$ x(t) = e^{-t} は，方程式を満たすので解（の一つ）．
$ \frac{d}{dt}x(t) = \frac{d}{dt} e^{-t} = -e^{-t} = - x(t)
例
$ \frac{dx}{dt} = x + y - x(x^2+y^2)
$ \frac{dy}{dt} = -x + y - y(x^2+y^2)
初期値： $ x(0)=x_0=1, y(0)=y_0=4
教科書 第1章は，何度も読み返す．
数値計算
code:ode101.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
def f(x, t):
t = np.arange(0, 10, 0.01)
x = odeint(f, x0, t)
plt.figure(0)
plt.plot(t, x)
plt.show()
学習目標
微分方程式の意味と働き，使い方
現象を記述する言語としての微分方程式
微分方程式の扱い方や解き方
微分方程式を数値的に解き可視化する技法
話は線形代数．
固有値，固有ベクトル，$ \cdots
新しい概念はほとんど登場しない
応用数学
数学の適用：
ものをある見方で見ること，ある考え方で考えることを，正確に表現すること
具体的なものに抽象的な数学をあてはめ，自分がどういう見方，考え方をしているかをはっきりさせる
数式処理
ギリシャ文字の読み方
$ \alpha アルファ
$ \mu ミュー p.4
$ \gamma ガンマ p.5
$ \beta ベータ p.5
$ \nu ニュー p.6
$ \omega オメガ p.6
$ \theta シータ p.17
$ \phi ファイ p.18
この教科書に載っていないもの
direction field
computer solution methods
see Acheson (1997)
そのほか
指数関数（ $ e^t など）が よくでてくる．
$ e^{\mu t} のことを $ \exp (\mu t) と書いたりもする．指数部分を小さくせずに記述できる．
簡単な関数の微積分 p.2
7. $ \int \frac{1}{x} dx = \log |x|
左辺の積分で，$ x \neq 0 ． $ x=0 をまたいで積分はできない．したがって，この式全体を考えるときには， a. $ x > 0 しか起こらないか，もしくは b. $ x < 0しか起こらない，2通りを別々に考える．「別々に考えるが」，式は，絶対値の記号を使うと，このひとつの式だけで簡潔に表現できるので，こう記述されている．
$ \int \frac{1}{x} dx = \log x , ~ x > 0
$ \int \frac{1}{x} dx = \log (-x) , ~ x < 0
$ \int \frac{1}{x-2} dx = \log |x-2| の場合は？ $ x \neq 2 で，$ x > 2 の場合と $ x < 2 の場合を同時に表現している．
個人的には，教科書からは，こんなのなくせばいい，と思っている．$ \int \frac{1}{x} dx = \log x , ~ x > 0 だけでよい．$ x> 0とか $ x > 2 の場合を考えればいいだけ．現実的には，そういう例ばかりなので．
そうもいかない？ → p.26 例題 2.4 を参照！
$ y' = 1 - y^2 を解け
初期値が $ y = 10 なら．値が小さくなっていく．どこまで小さくなるか．
初期値が $ y = -10 なら．値が大きくなっていく．どこまで大きくなるか．
初期値が $ y=1 なら，$ y'=0 なので，ずっと $ y=1．
初期値が $ y=-1 なら，$ y'=0 なので，ずっと $ y=-1．