位数に関する積の公式
$ Gを有限群、$ H\le Gとすると$ \#H|\#G
$ H\le Gは$ Hが$ Gの部分群であることを表す 定理
条件
群$ Gの 2 要素 $ x,yの位数はともに有限
1. $ xy=yx
2. $ \left<x\right>\cap\left<y\right>=\{1\}
結果
$ {\rm ord}(xy)={\rm lcm}({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y)
系
$ \gcd({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y)=1の場合
$ xy=yxであれば$ {\rm ord}(xy)=({\rm ord}\,x)({\rm ord}\,y)
2は勝手に成り立つ
$ \becauseLagrange の定理より$ |\left<x\right>\cap\left<y\right>|=\gcd({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y) 証明
$ l={\rm lcm}({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y)とする。
$ (xy)^l=y^lx^l=1
$ \because x^l=y^l=1
$ \because l={\rm lcm}({\rm ord}\,x,{\rm ord}\,y)
$ (xy)^n=1なる整数$ n>0を考えると、
$ 1=(xy)^n=y^nx^n
$ x^n=y^{-n}\in\left<x\right>\cap\left<y\right>
$ x^n=y^n=1
$ \because2より
$ nは$ {\rm ord}\,xと$ {\rm ord}\,yの公倍数
なんで？
$ {\rm ord}(xy)=l