Cn級 - Summer498 の頭ん中

Cn級

関数は連続とは限らない

連続な関数は微分可能とは限らない

1 回微分可能な関数は 2 回微分可能とは限らない

$ k 回微分可能な関数は $ k+1 回微分可能とは限らない

そこで、関数の滑らかさを表すために $ C^n級という表現を使う

連続な関数は $ C^0級

$ n 回微分した導関数$ f^{(n)}が連続なら $ C^n級

微分した関数が連続であることを連続微分可能という

$ C^n級関数は $ n 回連続微分可能

任意回微分可能な関数は $ C^\infty級

テイラー展開できる関数は $ C^\omega級

解析関数

数学の問題を解く時は、実際の滑らかさではなく問題を解くのに必要な滑らかさについて考える

必要最低限の滑らかさを用いて問題を議論すると最も一般的な議論になるためカッコいい

実際は「十分滑らか」で適当に済ます

連続$ \supset微分可能$ \supset$ C^1級$ \supset\cdots\supset$ C^n級$ \supset$ C^{n+1}級$ \supset\cdots\supset$ C^\infty級$ \supset$ C^\omega級

例

C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ | 数学の景色

連続だが微分可能でない

$ {\rm f}\,x=|x|=\begin{cases}x&(x\ge0)\\-x&(x\le0)\end{cases}

$ \frac{\rm d}{{\rm d}x}|x|=\begin{cases}1&(x\gt0)\\-1&(x\lt0)\end{cases}

$ \lim_{h\to+0}\frac{|0+h|-|0|}{h}=1\ne-1=\lim_{h\to-0}\frac{|0+h|-|0|}{h}

$ x=0で微分不能

微分可能だが $ C^1級ではない

$ {\rm f}\, x=\begin{cases}x^2\sin\frac1x&(x\ne0)&\\0&(x=0)\end{cases}

連続

$ -1\le\sin\frac1x\le1より

$ -x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2

$ \lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0={\rm f}\,0

微分可能

$ {\rm f}'\,x=\begin{cases}x\sin\frac1x-\cos\frac1x&(x\ne 0)\\0&(x=0)\end{cases}

$ ^{\forall\varepsilon>0,\forall x\in \R,\exist\delta>0}\left[|x-0|<\delta\Rightarrow\left|\frac{{\rm f}\,x-{\rm f\,0}}{x-0}-0\right|<\varepsilon\right] か？

$ ^{\forall\varepsilon>0,\forall x\in \R,\exist\delta>0}\left[|x|<\delta\Rightarrow\left|\frac{x^2\sin\frac1x}{x}\right|<\varepsilon\right]

$ ^{\forall\varepsilon>0,\forall x\in \R,\exist\delta>0}\left[|x|<\delta\Rightarrow|x|\left|\sin\frac1x\right|<\varepsilon\right]

実際に、$ \delta=\varepsilonとしてやれば

$ \because\left|\sin\frac1x\right|\le1

$ C^\inftyだが解析関数ではない

無限回微分可能であるがテイラー展開できない例について | 趣味の大学数学

$ {\rm f}\,x=\begin{cases}0&(x\le0)\\e^{-\frac1x}&(x>0)\end{cases}

$ {\rm f}^{(n)}\,x=\frac{{\rm p_n}\, x}{x^{2n}}{\rm f}\,x($ {\rm p_n}は$ n-1次以下の多項式)

数学的帰納法で示す

$ n=1の時成立

$ {\rm f}^{(1)}\,x=\begin{cases}0&(x\le0)\\\frac1{x^2}e^{-\frac{1}{x}}&(x>0)\end{cases}=\frac{1}{x^2}{\rm f}\,x

$ ^{\forall\varepsilon>0,\forall a\in\R,\exist\delta>0,\forall x\in\R}[|x-a|<\delta\Rightarrow\left|\frac{\frac{1}{x^2}{\rm f}x-\frac{1}{a^2}{\rm f}a}{x-a}-\frac1{x^2}{\rm f}x\right|<\varepsilon] なのか？

未証明

$ n=kのときの成立を仮定する

$ {\rm f}^{(k+1)}\,x=\frac{{\rm p_k}'x\,x^{2k}-2\,k\,{\rm p_k}x\,x^{2k+1}}{x^{2(k+1)}}{\rm f}\,x+\frac{{\rm p_k}\, x}{x^{2n}}{\rm f'}\,x

未証明

複素関数であれば微分可能=正則=解析関数

実数って大変ねぇ