相加相乗平均
$ a\ge0,b\ge0について
$ \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}
等号は$ a=bの時に成立
証明
$ 0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b$ \quad等号成立は$ a=bのとき
整理して
$ \therefore\quad\sqrt{ab}\le\frac{a+b}2
$ \frac1a,\frac1bに相加相乗平均を用いると調和平均との大小関係を求められる。 $ \frac1a\ge0,\frac1b\ge0より
$ \sqrt{\frac1{ab}}\le\frac{\frac1a+\frac1b}{2}
$ \therefore\quad\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}
全部合わせると$ \frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}2