将来も指数関数的に成長すると勘違いする
大抵の物は成長が頭打ちになって成熟期を迎えるにも関わらず、成長途中の段階ではまるで未来永劫成長が指数関数的に続くと期待してしまう
グラフにするとこんな感じ
シグモイド曲線は成長途中の段階では指数関数曲線で近似できる
https://scrapbox.io/files/650d039f77c3fc001ff8849a.svg
赤がシグモイド
青が指数関数
https://scrapbox.io/files/650d039ac10f43001be572cd.svg
片対数グラフ版
紫がシグモイドの片対数グラフ
黒が指数関数の片対数グラフ
片対数グラフで折れ曲がるのは普通の指数関数でも起こせるので、なおのこと見分けづらい？ $ {\rm \sigma}\,x=\frac2{1+e^{-Cx}}
$ (x,y)=(0,1)で交差させたいので係数は$ 2にした
$ \frac{\rm d}{{\rm d}x}\log\sigma\,x=\frac{\rm d}{{\rm d}x}(\log 2-\log(1+e^{-Cx}))=\frac{Ce^{-Cx}}{1+e^{-Cx}}\approx x
$ x(e^{Cx}+1)\approx C
$ e^{Cx}のテイラー展開の 1 次の項で近似してやると$ C=1を導く
多分
片対数グラフでクッと折れ曲がる所を予想するのは無理じゃないか？Summer498.icon
成長段階ではホントに指数関数にしか見えないから
指数関数の方をちょっとずらすとぴったり重なって見える
https://scrapbox.io/files/651101e161e641001c61a975.svg
最初からシグモイド関数と予想して式を立てればいけるか？Summer498.icon
例えば$ {\rm \sigma}_{a,b}\,x=\frac b{1+e^{-ax}}とする
$ \frac{\rm d}{{\rm d}x}\sigma_{a,b}\,x=\frac{b(-ae^{-ax})}{(1+e^{-ax})^2}=\frac{b}{1+e^{-ax}}\cdot\frac{-ae^{-ax}}{1+e^{-ax}}=\frac{b}{1+e^{-ax}}\cdot a\left(1-\frac 1b\frac b{1+e^{-ax}}\right)=({\rm \sigma}_{a,b}\,x)\cdot a\left(1-\frac 1b{\rm \sigma}_{a,b}\,x\right)
この微分結果から出来た微分方程式をどう使えばよいかはよく分からんSummer498.icon
シグモイド関数だと直線になるような変換方法があればいいのかしらSummer498.icon
そんな変換があるのかどうかも、それがいいのかどうかも分からんけど