イロレーティング
気になって調べてみたSummer498.icon
イロレーティングの定義
平均プレイヤーランクを$ R_0、自身と平均プレイヤーの勝利確率を$ W, 敗北確率を$ Lとすると、自身のイロレーティング$ Rは
$ R=400\log_{10}\frac{W}{L}+R_0
係数に本質的な意味がないので、以下のように書くとキレイSummer498.icon
$ R=k\log\frac{W}{L}+R_0
平均プレイヤーのレート
平均プレイヤーランク$ R_0の値はイロは完全に任意としつつ便宜上 2000 とした
今は慣習的に 1500 が使われる
なんでや……
他の統計量との関連
$ {\rm Odds}=\frac{p}{1-p}
$ {\rm logit}\,(p)=\log p-\log(1-p)
勝利確率の導出
逆に自他のレート差から勝利確率が求められる
$ \frac{W}{L}=10^{\frac{R-R_{\rm other}}{400}}
$ W=\frac{1}{1+10^{-(R-R_{\rm other})/400}}
https://gyazo.com/5093bbfd03c5e1ad938dacde9093fc9f
対戦相手がレート1500だった場合の自分の勝率
点対称になっている
つまり、自分から見た勝率と相手から見た敗率が同じ
ホントかな
$ \frac{1}{1+e^{-x}}+\frac{1}{1+e^{x}}=\frac{e^x}{e^x+1}+\frac{1}{1+e^x}=1
$ -xは自分と相手のレート差、$ xは相手目線
係数を$ xに吸収させた
自分の勝率と相手の勝率の和が 1 を確認した
ホントだ
レートの更新
期待勝率$ E_w\in[0,1] と実際の勝敗$ W\in\{1,0\} を比較、差分を以下の式で定義して更新する
$ \Delta R=K(W-E_{w})
$ Kは変動を大きくする係数
一般的に 32 が使われるとか
なお、相手のレート変動率は、勝敗を入れ替えて、以下のように求まる
$ \Delta R_{\rm other}=K((1-W)-(1-E_w))
$ =-K(W-E_w)=-\Delta R
つまりレート保存則 (Summer498.icon語) が成立 正確に強さを表そうとするからそりゃそうか
めっちゃ機械学習っぽいSummer498.icon
レーティングから勝利確率=期待勝率への変換はシグモイド関数だし
実際の勝率と比較してレートを更新するところとかも
機械学習ド初歩で習うことを知ってるとスルスル入ってくる印象
レーティングと関係あるのは勝利確率で、偏差値と関係あるのは全体の中の順位(割合)なので関係ないのは百も承知でこじつける
関数が似てるから
https://scrapbox.io/files/6534f154cb8dc7001bf06f5d.svg
$ R'=13\log_{10}\frac{W}{L}+50とすれば良い
元のイロレーティングから偏差値モドキへの変換は
$ R'=\frac{13}{400}(R-1500)+50\approx\frac{1}{30}(R-1500)+50
例:
レート2000 → 偏差値モドキ 66.6
レート2100 → 偏差値モドキ 70
実際のレーティング分布から統計的に求めた偏差値とは大きく乖離する