Plucker座標系
直線を表現する座標系
プリュッカー座標系とも
空間中の直線は2つの点によって決定される。直線が通る2つの点の座標を$ p_1,p_2とした時、直線は次のように表すことができる
$ p(t) = p_1 + t (p_2 - p_1)
ここでDirectionを$ vとして次のようにも表現できる。
$ p(t) = p_1 + t v
当然であるけど$ vと$ p - p_2は平行、つまり以下が成り立つ
$ v \times (p - p_2) = 0
ここで$ - v \times p_2を$ mと定義すると、以下のように直線に関する陰関数表示を得ることができる
$ v \times p + m = 0
ここで得られるDirection$ vとMoment$ mによって直線を決定することができる。この組$ v:mをPlucker座標系という。
直線上の2つの点$ p_1,p_2の関係は、
$ v = p_2 - p_1
$ m = - (p_2 - p_1) \times p_2 = p_1 \times p_2
幾何的な関係としては、$ mに垂直で半径$ |m| / |v|の円に接する直線の内、Direction$ v方向を向いた直線として決定される。
雑な説明、$ mは直線の任意の点$ p_2と直線の方向$ vのクロス積、その大きさは原点から直線への最短距離となる。方向についても直線が向いている方向に対して垂直となる。
Plucker座標系は同次であり、スケーリングしても同じ直線を表す。(実際 k倍しても陰関数は変化しない)