Bezout Matrix

2つの多項式に対して定義される行列。その行列式は元の多項式2つの終結式に一致する。

正式名称はBézout matrix(日本語読みはベズー?)

多項式$ f(x),g(x)

$ f(x) = \sum_{i=0}^n f_i x^n

$ g(x) = \sum_{i=0}^n g_i x^n

次数を$ nと表記する。

この２つに対して$ n\times nのBezout Matrix$ Bを次のように定義する（各成分$ b_{ij})

$ B(f,g) = (b_{ij})_{i,j = 0,1,2,...n-1}

$ \frac{f(x) g(y) - f(y) g(x)}{x-y} = \sum b_{ij} x^i y^i

成分$ b_{ij}については次のように表示することもできる

$ b_{ij} = \sum_{k=0}^{\min(i,n-1-j)} (f_{j+k+1} g_{i-k} - f_{i-k} g_{j+k+1})

性質について

シンメトリック

$ B(f,g) = -B(g,f)が成立

$ B(f,f) = 0(自明では)

$ B(f,g)の行列式は$ f,gの終結式 Resultantに一致する $ \mathrm{Ref}(f,g) = \det(B(f,g))

多分最後の性質が目的で、行列式が終結式になるように設計されたものだと思います。

他にも終結式にまつわる行列としてはシルベスター行列がありますが、行列の大きさが$ (n+m) \times (n+m)とBezoutmatrixよりでかいので行列式の計算という面でこっちの方が少なく済むとして分けられてるんだと思われる(行列作るのが大変だけど)