一般化SNNN数列のp進付値
Lem. 1 (formal)
$ \forall a, b, s\in\mathbb{Z}. $ \forall p\in\mathbb{P}. $ p\mid a.
1. $ \forall k, n\in\mathbb{N}.$ \frac{k}{v_p(a)}\leq n\implies (a-1)S_{a, b, s}(n)\equiv -b \pmod {p^k}.
2. $ v_p(b)\ne \inftyとするとき, $ \exists N\in\mathbb{N}. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ N\leq n\implies v_p(S_{a, b, s}(n)) = v_p(b).
Proof.
仮定より$ v_p(a)\ne \inftyである.
1.
$ 2\leq pかつ$ p\mid aより$ a \ne 1. このため$ S_{a, b, s}(n) = (Da^n - b)/(a-1) \iff (a-1)S_{a, b, s}(n) = Da^n-b.
p進数 Prop. 2 より$ v_p(a^n) = nv_p(a)\geq (k/v_p(a))v_p(a) = k. これゆえ$ (a-1)S_{a, b, s}(n)\equiv Da^n-b\equiv -b\pmod {p^k}.
2.
(1.)より $ v_p(b)/v_p(a)\leq n\implies (a-1)S_{a, b, s}(n)\equiv -b\pmod {p^{v_p(b)}}.
p進数 Prop. 1と$ p\nmid (a-1)より$ v_p(b)\leq v_p((a-1)S_{a, b, s}(n)) = v_p(S_{a, b, s}). 他方, $ \forall m\in\mathbb{N}. $ (v_p(b)+1)/v_p(a)\leq m\implies (a-1)S_{a, b, s}(m)\equiv -b \pmod {p^{v_p(b)+1}}.
このとき$ -b\not\equiv 0\pmod {p^{v_p(b)+1}}だから$ v_p(S_{a, b, s}(m))\lt v_p(b)+1.
$ v_p(b)/v_p(a)\lt (v_p(b)+1)/v_p(a)\leq mより$ v_p(b)\leq v_p(S_{a, b, s}(m))も成立.
$ v_p(b)\leq v_p(S_{a, b, s}(m))\lt v_p(b)+1より$ v_p(b) = v_p(S_{a, b, s}(m)).
$ N := (v_p(b)+1)/v_p(a)とおけば$ \forall n\in\mathbb{N}. $ N\leq n\implies v_p(b) = v_p(S_{a, b, s}(n)). $ \Box
Thm. 2 (formal)
1. $ \forall a, b, s\in\mathbb{Z}. $ \forall p\in\mathbb{P}. $ p\mid a \implies \lim_{n\to\infty} v_p(S_{a, b, s}(n)) = v_p(b).
2. $ \forall a, b, s\in\mathbb{Z}. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ \forall p\in\mathbb{P}. $ \exists M\in\mathbb{N}. $ p\mid a \land b\ne 0 \land \mathbb{S}_{a, b, s}\subseteq\mathbb{N}\setminus\lbrace\,0\,\rbrace\implies v_p(S_{a, b, s}(n)) \leq M.
Proof
1.
$ v_p(b)\ne \inftyのとき
$ \forall \varepsilon\gt 0. Lem. 1 (2.)より$ \exists N. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ N\leq n\implies v_p(S_{a, b, s}(n)) = v_p(b). よって$ N\leq n\implies \lvert v_p(S_{a, b, s}(n)) - v_p(b)\rvert = 0\lt \varepsilonである.
$ v_p(b) = \inftyのとき
$ b = 0である
$ \forall n\in\mathbb{N}. $ \exists M\in\mathbb{N}. $ \forall m\in\mathbb{N}. $ M\leq m\implies v_p(S_{a, b, s}(n))\lt v_p(S_{a, b, s}(m)). を示せばよい.
$ k := nv_p(a)とおけばLem. 1 (1.)より$ (a-1)S_{a, b, s}(n)\equiv -b\equiv 0\pmod {p^k}.
$ k\leq v_p(S_{a, b, s}(n))
$ M := \lceil (v_p(S_{a, b, s}(n))+1)/v_p(a)\rceilとおく
Lem. 1 (1.)より$ \forall m\in\mathbb{N}. $ M\leq m\implies (a-1)S_{a, b, s}(m)\equiv -b\equiv 0\pmod {p^{v_p(S_{a, b, s}(n))+1}}.
$ v_p(S_{a, b, s}(n))\lt v_p(S_{a, b, s}(n))+1\leq v_p(S_{a, b, s}(m)) であるから, この$ Mは所与の条件を満たす
したがって$ v_p(S_{a, b, s}(n))は正の無限大に発散する.
2.
Prop. 1 (2.)より$ \exists N\in\mathbb{N}. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ N\leq n\implies v_p(S_{a, b, s}(n))\leq v_p(b).
他方$ \mathbb{S}_{a, b, s}\subseteq \mathbb{N} \setminus\lbrace\,0\,\rbraceより$ M := \max(v_p(b), \max\lbrace\,v_p(S_{a, b, s}(n))\mid n\in\mathbb{N}.\ n\leq- N)\,\rbrace)について$ M\ne \inftyである.
定義より明らかに$ \forall n\in\mathbb{N}. $ v_p(S_{a, b, s}(n))\leq M. $ \Box