Wieferich階数
Definition (formal)
$ \forall p\in\mathbb{P}. $ W_p\colon \mathbb{Z}\ni a\mapsto v_p(a^{p-1}-1). $ W_p(a)を$ aを底とする$ pのWieferich階数 (Wieferich order)という.
Note
そもそも対応する訳語を創出する段階
Wieferich orderをそのまま「Wieferich位数」と訳すには確かに微妙だが, 「Wieferich指数」ぐらい明示してもよいような気はする
「階数」でwiki編集者的な違和感はないので, 本wikiではこれを採用する.
Definition 1.4. Let the prime $ p be a Wieferich prime. Then $ p is called a Wieferich prime of order $ n if $ q(2, p^n)\equiv 0\pmod {p^n}, or equivalently $ 2^{p^{n-1}(p-1)}\equiv 1\pmod {p^{2n}}.
"Wieferich order"としての定義は2024/04/02時点で出典を発見できていない
なお$ W_pという記号は既に別の意味での定義が存在するため, 文献によっては注意して読まなければならない
Nicholas M. Katz. Wieferich past and future. 2015.
To formulate it, we define, for a nonzero integer $ a and a prime $ p not dividing a, the "Wieferich quotient"
$ W_a(p) := \frac{a^{p-1}-1}{p^2}\in (1/p)\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}.
これに限らずFermat quotientの類似としてのWieferich quotientは研究対象として(Wieferich orderよりは)活発に研究されている様子であり, 将来的にWieferich orderとしての記号を変更することになるのではないかと考える
2024/03/09付のWieferich primeの英語版wikipediaページには本記事の示す$ W_aに近い定義が存在する
Wieferich prime with order n
For integer $ n\geq 2, a Wieferich prime to base $ a with order $ n is a prime $ p satisfies the condition
$ a^{p-1}\equiv 1\pmod {p^n}
計算用コード片
code: wieferich_order.gp
WieferichOrder(a, p) = {valuation(a^{p-1} - 1, p)}
code:wieferich_order.sage
def wieferich_order(a, p):
return valuation(a ^ (p - 1) - 1, p)
基本性質
Prop. 1 (formal).
$ \forall p\in\mathbb{P}. $ \forall a\in\mathbb{Z}. $ \gcd(a, p) = 1\implies W_p(a)\geq 1.
Proof. Fermatの小定理より$ a^{p-1} - 1\equiv 0\pmod pより$ v_p(a^{p-1} - 1)\geq 1. $ \Box
Prop. 2 (formal)
$ \forall p\in\mathbb{P}. $ \forall a\in\mathbb{Z}. $ \forall n\in\mathbb{N}\setminus\lbrace\,0\,\rbrace. $ p\mid (a-1)\land \gcd(n, p) = 1\implies v_p(a-1) = v_p(a^n-1). とくに$ p\mid (a-1)\implies v_p(a-1) = W_p(a).
Proof.
$ a = 1の場合は明白. 以下$ a\ne 1とする.
$ \exists k\in\mathbb{Z}. $ a - 1 = p^{v_p(a-1)}k\land \gcd(p, k) = 1.
$ a^n = ((a-1)+1)^n = (p^{v_p(a-1)}k + 1)^n.
二項定理より次が成立.
$ \begin{aligned}a^n &= (p^{v_p(a-1)}k+1)^n\cr &= \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}p^{^{v_p(a-1)}i}k^i\cr &= 1 + p^{v_p(a-1)}\left(nk+\left(\sum_{i=2}^n\binom{n}{i}p^{v_p(a-1)(i-1)}k^i\right)\right)\end{aligned}
$ 2\leq iについて$ p\mid p^{v_p(a-1)(i-1)}そして$ \gcd(p, nk) = 1であるから, $ k' := \left(nk+\left(\sum_{i=2}^n\binom{n}{i}p^{v_p(a-1)(i-1)}k^i\right)\right)について$ \gcd(p, k') = 1かつ$ a^n = 1+p^{v_p(a-1)}k'.
これゆえ$ v_p(a^n - 1) = v_p(p^{v_p(a-1)}k') = v_p(p^{v_p(a-1)})+v_p(k') = v_p(a-1). $ \Box