現代物理学の手引

～近代天文学に始まり、解析力学による古典的物理学につながっていく系譜～

15世紀

16世紀

落体の法則

物体が自由落下するときの時間は、落下する物体の質量には依存しない

物体が落下するときに落ちる距離は、落下時間の2乗に比例する

「自然は数学という言葉で書かれた書物である」

ガリレオの相対性原理

どのような慣性系においても同じ物理法則が成り立つ

ニュートン力学はガリレイ変換に不変である

ティコ・ブラーエによる観測天文学

https://gyazo.com/5050d2dd0e6d8424afb9b122661d480e

第1法則（楕円軌道の法則）

惑星は、太陽を焦点のひとつとする楕円軌道上を動く

第2法則（面積速度一定の法則）

惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に掃く面積（面積速度）は、一定である

第3法則（調和の法則）

惑星の公転周期の2乗は、軌道長半径の3乗に比例する

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17世紀

絶対時間

その本質において外界とはなんら関係することなく一様に流れ、これを持続と呼ぶことのできるもの

絶対空間

その本質においていかなる外界とも関係なく常に均質であり揺らぎがないもの

運動の第1法則(慣性の法則)

運動の第2法則

運動の第3法則(作用・反作用の法則)

https://gyazo.com/965e8aa3ae0970e88e0c397de08a9d06

https://gyazo.com/472801af93a0915c3ef6ce4af84c8fd2

https://gyazo.com/71e0210dbddb0b588a28c62351e51af0

光の媒介としてのエーテルの提唱

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18世紀

関数のy=f(x)の形での表現

級数、連分数、母関数の方法、補間法、近似計算、特殊関数、微分方程式、多重積分、偏微分法、変分法など

https://gyazo.com/de5d3d94a23a5cdeb1455c0a3faee6e3

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解析力学

一般座標系に対して成り立つ運動方程式を導出して展開される力学体系

その運動方程式はラグランジアンやハミルトニアンと呼ばれる、座標変換に対して不変な量に変分法と最小作用の原理等を適用することで導出される

変分原理（variational principle）

力学系の運動（時間発展）は、作用と呼ばれる汎関数を最小にするような軌道に沿って実現される

https://gyazo.com/754c84015722ab405c9f217beb428be0

ラグランジアン

ラグランジアンは一般に運動エネルギー T とポテンシャル V の差で書かれる

https://gyazo.com/a2a540dd91ef1920bffb9ba74b0e768d

ハミルトン形式

ハミルトン形式とラグランジュ形式はルジャンドル変換を通して等価であり、ハミルトン形式の解析力学は、ラグランジュ形式からルジャンドル変換で移行することにより得られる

特に量子力学においては、古典力学のハミルトン形式での物理量を演算子に置き換え、演算子の間に正準交換関係を設定する正準量子化の手続きによって量子化を行う

https://gyazo.com/6030566eca2fe7639e04af2ac4b1bf6e

ハミルトニアン

https://gyazo.com/e45471963bef3ab5489047a162633b30

勾配、回転、発散

https://gyazo.com/5912984b36429705ecc0678c6cb8e10a

https://gyazo.com/498177536396c25ddee42a3e6ea8fa25

https://gyazo.com/b12afcb1ec0622f9e82a4bbea56b71f6

https://gyazo.com/3a7d937515fbb46f1f34de0ca05a33de

https://gyazo.com/181c3feb5cfc8a3459c99abc668602e4

https://gyazo.com/8b87462032244dcf6f57de4f13278252

汎関数の停留値を与える関数を求める微分方程式

ニュートンの運動方程式をより数学的に洗練された方法で定式化しなおしたもの

https://gyazo.com/3c5718dd11788211b887e13af1959c78

2階線型の楕円型偏微分方程式∇2φ = Δφ = 0である

R3 の場合に標準座標を用いてラプラス方程式を書くと次のようになる

https://gyazo.com/49598672b674032b99c4d4780e31746a

f =f (x1,…,xn)を既知の関数とし、u=u (x1,…,xn)を未知関数としたときに、次の形で与えられる2階の偏微分方程式をn次元ポアソン方程式と呼ぶ

ポアソン方程式は電磁気学、移動現象論、流体力学といった物理学の諸領域において系を記述する基礎方程式として現れる

https://gyazo.com/17ba3587fefaf37a4de93bc38f8a2631

完全流体を記述する運動方程式

https://gyazo.com/30a8ba2e93a24392315ebf3042d04375

拡散が生じている物質あるいは物理量（本稿では拡散物質と記述）の密度のゆらぎを記述する偏微分方程式

https://gyazo.com/e05654efa337d2227c6e21f7d610c541

波動方程式は音波、水面の波紋、電磁波などの様々な振動・波動現象を記述する際に基本となる方程式である

s は波動の位相速度 (phase velocity) を表す係数である

https://gyazo.com/f92ffd8900526698b247d51ba3f6c3ca

～気体の研究に始まる、熱力学、統計力学の系譜～

17世紀

一定の温度の下で、気体の体積は圧力に反比例する

18世紀

一定の圧力の下で、気体の体積は温度変化に比例する

https://gyazo.com/eab5b9ae039b35e41c44e577b1a009be

19世紀

https://gyazo.com/301fb164cb0424c950a007ec59c52340

熱力学第一法則

エネルギー保存の法則を熱力学系に適用させた場合の法則

閉じた系の内部エネルギーの変化は系に供給される熱から系が周囲に行った仕事量を差し引いたものに等しい

熱力学第二法則

低温の熱源から高温の熱源に正の熱を移す際に、他に何の変化もおこさないようにすることはできない

一つの熱源から正の熱を受け取り、これを全て仕事に変える以外に、他に何の変化もおこさないようにする熱力学サイクルは存在しない

孤立系、及び断熱系において不可逆変化が生じた場合、その系のエントロピーは増大する

ボルツマンの原理

ある巨視的な系のエントロピーを、その系が取り得る微視的な状態の数と関係づける

微視的な状態数が W のときのエントロピーは、以下で表される

比例係数 k はボルツマン定数と呼ばれる

系の巨視的な状態は、系のエネルギーや体積、物質量などの巨視的な物理量の組によって定められるが、それらの巨視的な物理量を定めたとしても系の微視的状態は完全には定まらず、いくつかの状態を取り得る

状態数とは巨視的な拘束条件の下で可能な微視的状態の数を見積もったものである

ボルツマンの原理から、可能な微視的状態の数が増えるほどにエントロピーが大きいことが解る

https://gyazo.com/85f53a904c697329d73988d5803e6477

エントロピーの定義の方法には、いくつかのスタイルがある。

熱を用いてエントロピーを定義する方法

断熱過程と等温過程で系がする仕事の最大値（内部エネルギーとヘルムホルツの自由エネルギー）の差からエントロピーを定義する方法

最初にエントロピーの存在と完全な熱力学関数としてのエントロピーが満たすべき性質を認め、熱力学を出発させる方法

統計力学におけるエントロピーは情報理論におけるエントロピー（無次元量）と定数倍を除いて一致する

https://gyazo.com/d04c31471024c517b777866d4a850dc8

https://gyazo.com/827d9b69a7602c1509a5f238e2d24281

https://gyazo.com/ed7aa76481e33ac1f339d61f00f6354f

https://gyazo.com/f494cdec605960643e6205959acb309e

https://gyazo.com/a190cf96fae49ce9d7acaebc7f375f3f

https://gyazo.com/c8145e9307e48192293db2186ad761cd

～電磁気学の系譜～

18世紀

https://gyazo.com/702888951e5319aea20fac7d715131a5

https://gyazo.com/126000b8138b54301d1d82c5bc7506b1

19世紀

https://gyazo.com/5a0510476d83ab3d7f69c026776652cc

https://gyazo.com/3041a34af822df6c49ea2c1ed9271677

https://gyazo.com/8afae7f9546ba5db4ee90a142e9a2880

https://gyazo.com/14b65b15604e60b339f27a78a89da56f

電磁誘導において、1つの回路に生じる誘導起電力の大きさはその回路を貫く磁界の変化の割合に比例する

https://gyazo.com/3000f69f327428b224d3f2518d74a507

https://gyazo.com/f682e03616d2460df7a19546831db80d

～相対性理論、量子仮説の幕開け～

20世紀

ローレンツ変換

https://gyazo.com/8c3afb7394a7743f34e298109d9eacb5

https://gyazo.com/f2e43437623bf93e352ed78cf9fa41a3

全ての物理法則はローレンツ変換に対して不変でなければならない

https://gyazo.com/c7ec7eef623926bab0132ea1a24da748

https://gyazo.com/d137b410cec9de7fe8f9f700010e7f7d

https://gyazo.com/91325b8db53e4339ec8148c6e443d0d9

https://gyazo.com/5354f72aac3cd7083e043b229868fd35

https://gyazo.com/3fdc59dc585707ae0747f0d3ec0980f3

https://gyazo.com/202cfb9eb9ec166752739170860054a6

～相対論的量子力学の時代へ～

https://gyazo.com/d2e96964093eddad7063610783d51824

https://gyazo.com/f5261243ecc26d5918177474d56ee6f2

https://gyazo.com/245c75583a466e22018948dccbe11e7a

https://gyazo.com/7da72c9f920e1d37bf9d686ed77ab37c

https://gyazo.com/23a7dd94a9bc86eea485800e0ab9f7ba

https://gyazo.com/b2390020e62ebcb3a7b0da24bbcfcf56

https://gyazo.com/425aa5e1961a500306610e64daef85b1

参考リンク