3^{2n-1} + 5^{2n-1} + 7^{2n-1} は15の倍数か
Q. $ 3^{2n-1} + 5^{2n-1} + 7^{2n-1} が 15 の倍数であることを示せ。
je6bmq.icon A.
15の倍数であることを示すには、与式が3の倍数であり、かつ5の倍数でもあることを示せばよい。
以下、 $ f(n) = 3^{2n-1} + 5^{2n-1} + 7^{2n-1} とおく。
3の倍数であることを示す。
mod 3 の値を考えると、
$ f(n) \equiv 0 + (-1)^{2n-1} + 1^{2n-1} $ ( \rm{mod} \;3 )
$ n は自然数であることから、 $ 2n-1 は奇数なので、 $ f(n) \equiv 0 $ ( \rm{mod} \;3 )
したがって、3の倍数。
次に5の倍数であることを示す。
同様にmod 5 の値を考えると、
$ f(n) \equiv (-2)^{2n-1} + 0 + 2^{2n-1} $ ( \rm{mod} \;5 )
となり、 mod 3の場合と同様の議論から、 $ f(n) \equiv 0 $ ( \rm{mod} \;5 )
したがって、5の倍数。
よって、 $ 3^{2n-1} + 5^{2n-1} + 7^{2n-1} は15の倍数。
je6bmq.icon mod 5を考えるときに最初 $ f(n) \equiv 3^{2n-1} + 0 + 2^{2n-1} $ ( \rm{mod} \;5 )
のうち、
$ f(m)= 3^m $ \rm{mod} \; 5は
$ 3, 4, 2, 1, 3, 4, ... と巡回する
$ f(k)= 2^m $ \rm{mod} \; 5は
$ 2,4,3,1,2,4,... と巡回するので、
奇数乗の時にちょうど和が5になってOK...と考えていたが負の剰余を考える方が綺麗だった