複素解析

「数学2B」

1.複素数、複素関数

物事は複素数に拡張して考えると見通しが良くなることがある

実時間上のものが虚軸上の極に支配されることもある

複素関数の微分積分について学ぶ

複素数では、和、積、除、絶対値、複素共役、三角不等式が成り立つ

極形式というものがあり、冪乗が簡単にできる

複素関数とは、複素数から、複素数への写像である

初等関数

実軸上で、z=x + i*0で、実変数関数に一致するようにexp(z), cosz, logzなどを定義する（解析接続が関係している？）

expはオイラーの公式を用いて自然に定義でき、logはexpを使って定義（？）

べきはexpとlogを用いて定義

高校での平方根の定義は、logzのargzの範囲を限定するようなものである

三角関数はexpで定義する

複素関数としても加法定理を満たし、実変数関数の場合と同じ公式が成立する

2.複素関数の微分

導関数の定義は実関数のときと同じであるが、Δzの近づけ方によらない極限が存在するとき、微分可能であるという

z^2はうまくいくが、|z|^2はうまくいかない

というのも、Δzが実数の場合と純虚数の場合の導関数の定義が一致しないからである

しかしこれは二変数関数としては滑らかであり、複素関数では二変数関数として滑らかならば微分可能とは限らない

そして微分が存在すれば実変数関数と同じ公式が使える

・コーシーリーマンの関係式

複素関数が微分可能ならばリーマン商がΔzによらず存在

Δy=0とΔx=0の場合に分けると、コーシー・リーマンの関係式が示される（ホンマの証明か？）

逆にCReqが成立するならば複素関数として微分可能である

微分可能な関数を正則関数という

また、f(z)が正則関数であるとするとfがz(共役)によらないということがわかる

等角写像：正則関数による複素平面上の写像で、局所的に角度を変えない

・初等関数の微分

正則関数であれば、実変数関数の場合の微分の公式がそのまま成立

・複素積分

複素平面上の線積分として複素積分を定義する

パラメータ表示されているときはおk

ベクトル場の線績分となる

3.複素関数の積分

・複素関数のせきぶん

特異点がなければ、経路の取り方ではなく、始点と終点のみによって決まる（正則）

・コーシーの積分定理

グリーンの定理を復習

閉経路CとCの内部でf(z)が正則なとき、その周回積分は0となる

また、原始関数が存在する

・コーシーの積分公式

C上のf(z)の値からCの内部での値が求まる定理

点の情報が積分の情報から復元できた

→積分の情報も点から分かるやろ

・グルサの定理

コーシーの積分定理を一般化

つまり、積分の値が微分から分かるということ

4.複素数の級数展開

・テーラー展開

中心z0、半径Rの円C上と内部でf(z)が正則のとき、Cの内部の点zでf(z) = ,,のように展開できる

つまり特異点での被積分関数の振る舞いを知れる

・ローラン展開

ふべきの項を含むときはローラン展開

テイラー展開は微分を計算して、f(z)を展開する

ローラン展開はf(z)を展開して積分を計算する

・留数

特異点の周りでローラン展開したときにn=-1に注目する

ローラン展開のn=-1以外の項は寄与しない

これもTaylor展開のような微分積分の考え方に似ているところがありそう（一次近似）

・留数定理

Cの内部で有限個の特異点を除いて正則なときに、一周積分の値が特異点の値の足し算で求められそう

・特異点の分類

-m位の極：ローラン展開の負ベキが有限のmで終わる

-真性特異点：負ベキが無限に続く

-除去可能な特異点：負のベキを含まない

5.留数定理、留数定理の応用

f(z)はz0で正則でないが、どんな近傍をとっても、その中の少なくとも１点で正則であるとき、特異点という

孤立特異点:z0は特異点であるが、ある近傍を取るとその近傍内の　z０以外の点では正則であるとこ

集積特異点:特異点の集積点

特異点の分類

1.極:負べきの項が有限次までしか現れない

2.除去可能な特異点:z0における関数値を指定することで取り除くことができる特異点、周辺での振る舞いは普通の正則な関数とどこも変わらない

3.真性特異点:負べきの項が無限次まで現れる

4.分岐点

5.無限遠点における特異点:複素平面で|z|→∞となる点を調べるときはz=1/wて適用して、新変数におけるw=0付近に注目すれば良い。複素平面に無限遠点を１点加えたものを拡張された複素平面と呼ぶ。

留数定理では孤立特異点を考えれば良い。

Cauchyの積分定理、Cauchyの積分公式はこの定理の特別な場合である。

除去できる特異点の場合、Laurent展開の主要部はないので留数は0である。真性特異点の時はLaurent展開して係数b1を求めるしかないが、極の場合は便利で簡単な方法がある。

留数の求め方は1位の極とm位の曲で異なる

分数関数には異なる求め方がある

留数定理の応用として

-有理関数の無限積分

高校範囲ではうまい変数変換が必要だが、その必要がなくなる

一般に分母の次数が、分子の次数よりも2つ多くなければならない

-三角関数を含む無限積分

exp(iz)で計算することが多い

ジョルダンの不等式で評価するのが普通というより、ジョルダンの不等式で評価しないと解けないことがある

-多価関数の無限積分

位相がずれることがある

あとで確認しておけ

-経路上の極

避けて評価する

主価積分という概念がある（半分の寄与しかしない？）あとで確認

6.一致の定理、解析接続

一致の定理

D内でf(z)=0ならば

f1,f2がD内で正則であるとする

D内の小領域または弧上でf1 = f2ならばD内全てでf1 = f2である

初等関数の複素関数への拡張は一意であることをいっている？

解析接続

要するに初等関数の複素関数への拡張は一意であるということ。

解析接続は一致の定理の延長である

D1内で正則な関数f1(z)を考え、D2内で正則な関数f2(z)を考える

D1かつD2上でf1=f2となるとき、f2をf1の領域D2への解析接続であるという

リーマン面

異なる平面に移って考えるという方法で多価関数を一価関数として扱える。

例として、ガンマ関数がある

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「複素関数の基礎の基礎 -川平 友規-」

第1講 複素数と複素平面

1.1 未知の数 i

√2は有理数に無理数を加えた実数という数の体系で正当化できた

√-1は正当化できるか？

これは二乗したら-1になる数であり、実数ではない

この計算を正当化するには何らかの形で数の体系を拡張しなくてはならない

いったんこの未知なる数が存在すると仮定して話を進める

高校で学んだように、複素数の計算規則は定義される

1.2 複素数の正当化：複素平面

計算規則を満たすような新たな数の体系を構成しなくてはならない

xy平面をR^2で表すとすると、これはcの定義と似ている

いや、同じと考えてしまう

ベクトルは別名複素数を持つと考えるのがミソである

ここで、複素数とは何か？存在するのか？という疑問は解消されている

ただの２次元ベクトルである

演算規則は、内積でも外戚でもない、新しい積を導入したと解釈すれば良い

また商についても同様である

zと0の複素平面上での距離をzの絶対値もしくは長さと呼ぶ

zと0を結ぶ線分と実軸の正の方向のなす角をzの偏角と呼び、argzで表す

z = r(cosθ + isinθ)を極形式と呼ぶ

1.3 和・積の幾何学的意味

和と差はベクトルと同じである

積はベクトルにはない不思議な幾何学的意味を持つ

「積の絶対値は絶対値の積」

「積の偏角は偏角の和」

という性質は冪乗の計算せ威力を発揮する

第2講 オイラーの等式と指数関数

2.1 前回のポイントと補足

前回の唯一にして最大のポイントは積の法則であった

2.2 オイラーの等式

オイラーの等式はマクローリン展開より導ける

左辺の、eの複素数乗はまだ定義されていない

2.3 指数関数の定義

オイラー等式からの暗示を生かして、複素数の指数関数を定義する

すなわち、指数関数e^zは絶対値e^x, 偏角yの複素数である

ここで定義したのは指数関数e^zであってeの複素数z乗ではないことに注意

2.4 極形式

指数関数を用いると、極形式を指数関数で書き直せる

2.5 指数関数の性質

指数関数の最も重要な性質が「指数法則」と「周期性」である

指数関数は周期2πiの周期関数なのである

2.6 指数法則の応用

ど・モアぶる

1のN乗根

第3講 指数・対数関数と複素べき

3.1 前回のポイント

3.2 指数関数の像

指数関数をw = f(z) = e^zとおき、関数fを視覚的に理解する方法を考える

そもそも複素数の関数はグラフが描けないのでちょっとした工夫が必要となる

関数f:C→Cはz平面の一点からw平面の一点への対応を与えるからこれをスクリーンからスクリーンへの射影のように考えれば良い

関数fとはその間にあるレンズであり「ゆがみ」や「ずれ」を発生させる装置である

変数zが左のスクリーンで動き回るとき、右のスクリーンで対応するwがどのように動くのかわかればとりあえず関数の作用は理解できたことになるだろう

3.3 対数関数

正の数aに対して、方程式e^x = aの実数解をlogaと表し、これをaの大数とよんだ

同じことを複素数で考える

複素数α /= 0に対し、e^z = αの解をαの大数と呼びlogαで表す

一般に複素数の対数は無限個の複素数になってしまう

これは指数関数の周期性に起因する

logαは無限個の解の一つを漠然と表す記号だと言える

主値

複素平面乗でlogzは縦線の上に2πi間隔で並んでいるが、その中からIm(logz)が0〜2πを満たすものは一つだけなのでこれをlogzの主値という

一般に複素数の整数乗の値は一つに決まり、普通の意味で整数乗と一致する

eのz乗と指数関数e^zは別物である

普通は後者の意味

第4講 三角関数・関数の連続性

4.1 三角関数

オイラーの公式から、指数関数を用いて三角関数を定義する

また、実数の三角関数のように絶対値が1以下ということは成り立たない

一般に考える数の世界を広げると方程式の解は増えるが、三角関数の場合は変わらない！

4.2 関数の極限

このような複素と実の言い換えは、複素関数論の内部原理を説明する際に必要となる

実部と虚部に分けることで複素数の微積分は必ず実関数の微積分に帰着できる！！

4.3 関数の連続性

第5講　複素関数の微分

実関数における微分の役割は関数のグラフを接線で近似することで各点における関数の局所的な変化を表現するものであった

複素関数の場合も同様であり、関数がある点をある点に移すというその局所的な作用を一次関数で近似することが微分の役割だと言える

複素数での近づき方はどんな近づき方でも良い

関数wがz=αで微分可能であれば、その点で連続である

微分可能性の定義にはその点での連続性について一切仮定されていないので、このような主張は無意味ではない

5.1 正則関数

微分可能性にもう少し条件を加えた正則性という条件を導入する

多項式、三角関数、指数関数などふつうの関数は全てこの正則性を持っている

複素関数論とは、正則関数論のことなのである

5.2 微分可能でない例

次回以降は、複素関数論というよりも正則関数論を展開する

実の初等関数は全て正則関数の実数への制限であり、それゆえに実積分への応用が可能なのである

共役な複素数が出てくる関数は正則ではない

そもそも複素共役は実軸に乾reakpointsにて鏡像をとることに対応するのだが、z=αから偏角θの方向に回転すればgによる像は偏角-θの方向に変化する

その方向を補正するには-2θの回転が必要だが、この回転量が変化の方向θに依存しているのがいけない

微分可能性は「周囲をほぼ一定量拡大・回転する」ことを要求するからである

第6講 コーシー・リーマンの方程式

6.1 前回の復習

6.2 導関数の公式

導関数の公式は実関数の時と同じである

6.3 2次元写像としての複素関数

複素数を定義する際、z = x + iyは実二次元ベクトル(x,y)の別名だとした

この時、複素関数f:z → wはベクトル間の写像の別名だと言える

与えられた写像Fがある正則関数fの別名となっているための必要十分条件は何か？

6.4 復習(2次元写像の偏微分・ヤコビ行列)

・C1級関数

C1級関数であるとは、定義域上で偏導関数が存在し、しかも連続であることをいう

・全微分

Δu = PΔx + QΔyが成り立つ

・ヤコビ行列

写像Fが点Pを点F(P)に移す際、その局所的な作用を顕微鏡で観察するとあたかもヤコビ行列をかける線型写像のように見える

6.5 問題の答え

6.6 具体例

(ry

6.7 定理6-2の証明

(ry

第7講 コーシー・リーマンの応用・複素線積分

7.1 前回の復習

7.2 コーシー・リーマンの応用

(ア)と(イ)から、正則関数の虚部は実部に強く依存しているということがわかる

if(z)を考えると実部と虚部の役割は入れ替わってしまうので、正則関数の実部と虚部は互いに強く制限しあっている！

また、(ウ)から、正則関数の実部と虚部になりうる関数は限られている！ということも示唆される

実は正則関数の実部と虚部のペアは互いに共役な調和関数と呼ばれる特殊な関数たちであることが知られている

7.3 複素線積分

リーマン積分の復習

複素数の世界では積分の経路に実数よりも自由度が生じる

7.4 用語の定義

7.5 複素線積分

第8講 コーシーの積分定理

8.1 複素線積分の具体的な計算

前回、複素関数の線積分を仮想短冊の面積和の極限と定義したが、これでは積分の値を計算できる気がしない

この点を解消するためには、複素線積分を計算可能な積分に置き換える必要がある

8.2 その他の計算公式

・C1,C2を滑らかな曲線とするとき、C1にそって進んだあとさらにC2にそって進む経路を記号C1+C2で表現する

・Cが区分的に滑らかであるとは、Cが有限この滑らかな直線を順につなぎ合わせたものになっているときをいう

・区分的に滑らかな曲線に対して、これを逆方向へ進む曲線を-Cと表す

・コーシーの積分定理

複素線積分の値は当然ながら経路に依存する

例えば、z=-1からz=1に進む曲線Ciをいくつか考えて、z^mとz(複素共役)^mが曲線にどのように依存するか計算してみる

z^mについては何と一致してしまう！

個々の積分は仮想短冊の和の極限であったから、これらの積分が一致する根拠は積分の定義の中には見当たらない

つまり、任意の多項式について積分値が一致してしまう

高次の多項式を用いれば、関数の挙動はいくらでも変化させることができるのに。

一方z(複素共役)^mの場合はそれぞれ異なる値を持つ

これを説明するのが複素関数論のクライマックスである次の定理である

つまり単連結領域上の正則関数の線積分は端点だけで値が決定されるもしくは端点さえ固定していれば積分路は自由に変形して良いという強烈な結果である

ここで、単連結領域と強調しているのは、この性質がコーシーの定理にとって本質的だから

第9講 積分定理の応用

9.1 前回の復習

単連結領域上の正則関数に限り、普通に原始関数で積分計算ができる

9.2 基本公式2と積分計算への応用

内部にあるときは切り込みを入れて考えれば良い

これを利用して、実軸上の積分なども求めることができる

9.3 コーシーの積分定理の証明

証明は3つのステップ

(ア) CからR^2へ

(イ)グリーンの定理

この定理もコーシーの定理と同様に不思議に満ちている

曲線上だけを歩いて計算できる積分値が定義上は曲線の内部の領域をくまなく測量しなければ得られないはずの面積分の値と一致してしまうのである

(ウ) R^2 から Cへ

第10講 コーシーの積分公式とその応用

10.1 積分公式

10.2 微分可能性

微分の値が積分で計算できてしまうので、これは鳩が出る類の定理である

一般に正則関数とその定義域内の点αが与えられたとき、その点を含む十分小さな円盤Dを取れば定理10-1の仮定をみたすことができる

したがって正則関数は何回でも微分可能であるとわかる

10.3 リュービルの定理と代数学の基本定理

数ある積分公式の中でも次の二つは目玉である

した勝手指数関数、三角関数は正則だが有界ではないことがわかる

10.4 最大値の原理

最大値の原理は正則関数の著しい性質のひとつである

この講義では触れられないが、最大値の原理にはシュワルツの補題と呼ばれる強力な応用が知られている

このシュワルツの補題なしに現代的な複素関数論や複素力学系理論を語ることはできない

この最大値の原理はやや弱いバージョンであり、一般にはより強く「|f(z)|がD内で最大値を取れば定数関数」という形で述べられる

第11講 冪級数展開

複素関数の微分積分という観点からは一旦離れるが、実は複素関数論を実積分の計算に応用するまでの重要な通り道になっている

11.1 数列と級数の収束

級数が収束する十分条件として最も使えるのが絶対収束性を用いる方法である

絶対収束する級数は収束する

11.2 テイラー展開

テイラー展開は一意である

収束半径ないでしか意味を持たない

11.3 テイラー展開の拡張

テイラー展開を用いると、1/zなどが入っている級数も考えたくなる

しかしこれらはz→0のときに発散してしまう

そこで、発散しそうな場所のまわりをくりぬいた円環領域での収束を考えることにする

第12講 留数定理

既にコーシーの積分公式を用いることで様々な積分が計算できるが、これらの結果はさらに洗練された形で留数定理としてまとめられる

12.1 ローラン展開

a-k /= 0を満たす自然数kが無限に存在するとき、αは極とは呼ばれず、真性特異点とよばれる

一般的には極と真性特異点を合わせて特異点と呼ばれるが、このノートでは真性特異点をあまり扱わないので極という言葉で代用する

ローラン展開も一意性がある

12.2 留数

第13講 実積分への応用

13.1 留数定理

13.2 実積分への応用1(三角関数)

13.3 実積分への応用2(有理関数の積分)

13.4 実積分への応用3

13.5 模擬試験

第14講 補講1

14.1 原始関数とモレラの定理

14.2 関数の一様収束と微分・積分

第15講 補講2

15.1 項別微分と項別積分

15.2 テイラー展開・ローラン展開の一様収束性

15.3 ベクトル解析に関する補遺

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「みつのきチャンネル」

第0講 オイラーの公式

2パターンで求める

両辺微分して、両編にiをかける

すると、微分方程式が出る

マクローリン展開の式からも導出できる

極限の議論が隠れている

第1講 複素数の指数関数、対数関数など

複素数平面の基礎

極形式

ドモアブルの公式は加法定理で導かれる

exp(iθ)は単位円上の点

exp(z)はexp(x)*exp(iy)と分けて考える

指数法則などが実数と同じ

複素指数かんすうの逆関数を求める

これを z = logwと表現する

多価関数、主値を定義

証明は指数法則を使ってやる

第2講 複素数の冪乗やi^iなどを解説

冪乗をlogとexpを使って定義する

主値で定義する

i^iはzとwにiを代入する

ここでもk = 0の主値を考える

複素数の世界の√4はどうなるのか

複素数の世界の数は実数の概念が成り立たない

第3講 sinz, sinhzなど

複素数の世界のオイラーの公式を使って定義する

微分とか積分は実数と同じ形

sinhとかcoshはそのまま

複素数の三角関数の加法定理は同じ形

第4講 微分、コーシーリーマンの公式

複素数の微分はどこから近づいても良い

複素数の微分は厳しい制限で、一致の定理や解析接続が成り立つ

複素数は一回微分できれば無限に微分できる

領域D内の全ての点で微分可能のとき、D内で正則という

xとy方向かあら近づけて、これらが一致するという式を立てる

これがコーシーリーマンの方程式

C1級関数かつコーシーリーマンが成り立つなら正則であると言える

簡単な微分の式を確かめるだけで正則が言える！！

第5講 C1級かつコーシー・リーマンの方程式ならば正則であることの証明

c1級関数とは、領域D内で偏導関数が存在し、その偏導関数が連続であるとき

平均値の定理

第6講 極座標でのコーシー・リーマンの方程式

r=0かつθが0に近づく場合と、θ=0かつrが0に近づく場合を=で結ぶ

第7講 複素関数の積分

線積分の考え方

リーマン積分と同じようなもの

第8講 コーシーの積分定理

グリーンの定理を使って証明する

そしてコーシー・リーマンを使う

第9講 積分経路変更の原理と多重連結領域

これをうまく駆使して、様々な定理を証明できる

積分経路変更の原理はコーシーの積分定理で証明できる

多重連結は要するに穴が空いてると言うこと

多重連結領域の積分は、切り込みを入れて積分すれば良い

第10講 コーシーの積分公式と周回積分公式

周回積分の公式はf(z) = 1としてるだけやんけ

第11講 グルサの定理

コーシーの積分公式を使って証明する

数学的機能法で証明していた

第12講 モレラの定理

コーシーの積分定理の逆の定理

第13講 コーシーの不等式

リュービルの定理に使用する

第14講 リュウビルの定理

複素数全体で正則かつ有界な関数は定数関数に限る

第15講 ローラン級数展開

実際はテイラー展開やマクローリン展開を使う

難しい積分で係数を求めるのはあまりやらない

ローラン級数展開のC-1を特別に留数という

C-1を求めるという作業がそのまま周回積分の計算にもつながる

第16講 留数

留数で周回積分の値が求められる

しかも、留数は微分で求められるので、微分で積分が求められる

点の周りが大切ということになる

第17講 留数定理

第18講 実関数積分への応用(三角関数)

第19講 実関数積分への応用(有理関数)

第20講 ディリクレの積分